Викия

Математика

Метрическое пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В математике метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение Править

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) d:M\times M\to \mathbb{R} (где \mathbb{R} обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x, y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

  1. d(x, y) ≥ 0
  2. d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y.
  3. d(x, y) = d(y, x)    (симметрия)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)    (неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Примеры Править

  • Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x, y) = ||yx||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).
  • Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
  • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
D(X, Y) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d(x, y) < r и для любого y в Y существует x в X такое, что d(x, y) < r)}.
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения Править

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.
  • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x, y).
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:
B(x; r) = {y в M : d(x,y) < r},
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки x\in O найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:
d(x,S) = inf{d(x,s) : sS}
Тогда d(x, S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.
  • Иногда рассматривают метрики со значениями [0,∞]. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) или d''(x, y) = min(1, d(x, y))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства Править

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

Вариации и обобщения Править

Для данного множества M, функция d:M\times M\to \mathbb{R} называется псевдометрикой на M если для любых точек x, y, z из M она удовлетворяет следующим условиям:

  1. d(x, y) ≥ 0.
  2. d(x, x) = 0 .
  3. d(x, y) = d(y, x)    (симметрия)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)    (неравенство треугольника).

То есть, в отличии от метрики, различные точки в M могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/\sim где x\sim y \Leftrightarrow d(x,y)=0.

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех x, y и z в M, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).

История Править

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в своей работе Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74, в связи с рассмотрением функциональных пространств.

См. также Править

Литература Править

  1. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2


Эта статья содержит материал из статьи Метрическое пространство русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики