Викия

Математика

Метрика Хаусдорфа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В геометрии, метрика Хаусдорфа есть естественная метрика определённая на множестве всех компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

ОпределениеПравить

Пусть X и Y суть два компактных подмножества метрического пространства M. Тогда расстояние по Хаусдорфу, dH (X,Y), между X и Y есть минимальное число r такое что замкнутая r-окрестность X содержит Y и также замкнутая r-окрестность Y содержит X.

Другими словами, если |xy| обозначает расстояние между точками x и y в M то

d_H(X,Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|, \ \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}.

СвойстваПравить

Пусть F(M) обозначает множество всех компактных подмножеств метрического пространства M с метрикой Хаусдорфа

  • Топология пространства F(M) полностью определяется топологией M.
  • F(M) компактно тогда и только тогда когда компактно M.
  • F(M) полно тогда и только тогда когда M полное.

ВариацииПравить

  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства, в этом случае она уже не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
  • В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть X и Y два компактных подмножества евклидова пространства тогда DH(X,Y) определяется как минимум dH(I(X),Y) по всем движениям евклидова пространства I. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
  • Метрика Громова-Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

СсылкиПравить

pl:Metryka Hausdorffa

Викия-сеть

Случайная вики