Метод секущих

Шаблон:Тупиковая статья В качестве функции ${\lambda }(x)$ берут любую постоянную ${\lambda }_{0}$, знак которой совпадает со знаком производной $f'(x)$ в окрестности $E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $x_0$ и $x^*$). Постоянная ${\lambda }_{0}$ не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:

$\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\lambda }_{0}f(x_{i}),$

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $f(x)$. Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $f'$ и ${\lambda }_{0}$. Рассмотрим прямую, проходящую через точку $(x_{i};f(x_{0}))$ на графике $y=f(x)$ с угловым коэффициентом $\tan \nolimits \alpha ={\frac {1}{\lambda }}_{0}$. Тогда уравнением этой прямой будет

$\displaystyle y=f(x_{i})+{\dfrac {1}{{\lambda }_{0}}}(x-x_{i}).$

Найдём точку пересечения этой прямой с осью $Ox$ из уравнения

$\displaystyle f(x_{i})+{\dfrac {1}{{\lambda }_{0}}}(x-x_{i})=0,$

откуда $x=x_{i}-{\lambda }_{0}f(x_{i})=x_{i+1}$. Следовательно, эта прямая пересекает ось $Ox$ как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки $x_0$, через соответствующие точки графика $y=f(x)$ проводятся секущие с угловым коэффициентом $k={\dfrac {1}{{\lambda }_{0}}}$ того же знака, что производная $f'(x_0)$. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция $f(x)$ или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных $x_i$, имеют один и тот же угловой коэффициент $k$ и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью $Ox$.

Рис. Последовательные итерации метода секущих

На чертеже слева изображены итерации при $f'(x)>0$, в случае $k={\dfrac {1}{{\lambda }_{0}}}<f'(x_{0})$ и в случае $k={\dfrac {1}{{\lambda }_{0}}}>f'(x_{0})$. Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка $x_i$ уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня $x^*$, и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки $x_i$ приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае $f'(x) < 0$, то есть когда функция $f(x)$ убывает.)

Достаточное условие сходимости, таково:

$\displaystyle \vert {\varphi }'(x)\vert =\vert 1-{\lambda }_{0}f'(x)\vert \leqslant {\gamma }<1.$

Это неравенство можно записать в виде

$\displaystyle -{\gamma }+1\leqslant {\lambda }_{0}f'(x)\leqslant {\gamma }+1,$

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

$\displaystyle {\lambda }_{0}f'(x)>0,$

так как $-{\gamma }+1>0$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ${\lambda }_{0}$), а во-вторых, когда ${\lambda }_{0}f'(x)<2$ при всех $x$ на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

$\displaystyle \vert k\vert ={\dfrac {1}{\vert {\lambda }_{0}\vert }}>{\dfrac {M_{1}}{2}},$

где $M_{1}=\max \limits _{x}\vert f'(x)\vert$. Таким образом, угловой коэффициент $k$ не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка $x_1$ может выскочить из рассматриваемой окрестности корня $x^*$, и сходимость итераций к корню может быть нарушена.