Викия

Математика

Метод секущих

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Тупиковая статья В качестве функции  {\lambda}(x) берут любую постоянную  {\lambda}_0, знак которой совпадает со знаком производной  f'(x) в окрестности  E (и, в частности, на отрезке, соединяющем  x_0 и  x^*). Постоянная  {\lambda}_0 не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:

\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции  f(x). Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков  f' и  {\lambda}_0. Рассмотрим прямую, проходящую через точку  (x_i;f(x_0)) на графике  y=f(x) с угловым коэффициентом \tan\nolimits\alpha=\frac{1}\lambda_0. Тогда уравнением этой прямой будет

\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).

Найдём точку пересечения этой прямой с осью  Ox из уравнения

\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,

откуда  x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}. Следовательно, эта прямая пересекает ось  Ox как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки  x_0, через соответствующие точки графика  y=f(x) проводятся секущие с угловым коэффициентом  k=\dfrac{1}{{\lambda}_0} того же знака, что производная  f'(x_0). (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция  f(x) или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных  x_i, имеют один и тот же угловой коэффициент  k и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью  Ox.

Файл:Xy.png

Рис. Последовательные итерации метода секущих

На чертеже слева изображены итерации при  f'(x)>0, в случае  k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0) и в случае  k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0). Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка  x_i уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня  x^*, и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки  x_i приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае  f'(x)<0, то есть когда функция  f(x) убывает.)

Достаточное условие сходимости, таково:

\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.

Это неравенство можно записать в виде

\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,

так как  -{\gamma}+1>0 (тем самым проясняется смысл выбора знака числа  {\lambda}_0), а во-вторых, когда  {\lambda}_0f'(x)<2 при всех  x на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},

где  M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert. Таким образом, угловой коэффициент  k не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка  x_1 может выскочить из рассматриваемой окрестности корня  x^*, и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

Викия-сеть

Случайная вики