Викия

Математика

Метод релаксации

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Тупиковая статья

Метод релаксации - приближенный метод решения систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений


\left\{
\begin{matrix}
a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\
a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\
 & \ldots & \\
a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\
\end{matrix}
\right.

приводится к виду

\left\{
\begin{matrix}
-x_1 + b_{12}x_2 + \ldots + b_{1n}x_n + c_1 & = & 0\\
 & \ldots & \\
b_{n1}x_1 + b_{n2}x_2 + \ldots - x_n + c_n & = & 0\\
\end{matrix}
\right.

где b_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}, (i \neq j), c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}

Находятся невязки R_{j}:


\left\{
\begin{matrix}
R_1^{(0)} & = & c_1 - x_1^{(0)} + \sum_{j = 2}^n b_{1j}x_j^{(0)}\\
R_2^{(0)} & = & c_2 - x_2^{(0)} + \sum_{j = 1, j \neq 2}^n b_{2j}x_j^{(0)}\\
 & \ldots & \\
R_n^{(0)} & = & c_n - x_n^{(0)} + \sum_{j = 1}^{n - 1} b_{nj}x_j^{(0)}\\
\end{matrix}
\right.

Выбирается начальное приближениее X^{(0)} = 0. На каждом шаге необходимо обратить в ноль максимальную невязку: R_s^{(k)} = \delta x_s^{(k)} \Rightarrow R_s^{(k + 1)} = 0, R_i^{(k + 1)} = R_i^{(k)} + b_{is} \delta x_s^{(k)}.

Условие остановки: R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}.

Ответ находится по формуле: x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}.

Викия-сеть

Случайная вики