Викия

Математика

Метод обратного преобразования

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ме́тод обра́тного преобразова́ния — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.

Описание алгоритма Править

Пусть F(x) является функцией произвольного распределения. Покажем как, имея генератор выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, получить выборку из распределения, задаваемого функцией распределения F(x).

Строго возрастающая функция распределения Править

Если функция F:\mathbb{R}\to [0,1] строго возрастает на всей области определения, то она биективна, а следовательно имеет обратную функцию F^{-1}:[0,1]\to \mathbb{R}.

  • Пусть U_1,\ldots ,U_n \sim U[0,1] — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
  • Тогда X_1,\ldots, X_n, где X_i = F^{-1}(U_i),\; i=1,\ldots, n, — выборка из интересующего нас распределения.

Пример Править

Пусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром \lambda > 0. Функция этого распределения F(x) = 1 - e^{-\lambda x} строго возрастает, и её обратная функция имеет вид F^{-1}(x) = -\frac{1}{\lambda} \,\ln ( 1 - x ). Таким образом, если U_1,\ldots, U_n — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то X_1, \ldots, X_n, где

X_i = -\frac{1}{\lambda}\ln (1-U_i),\; i=1,\ldots,n

— искомая выборка из экспоненциального распределения.

Неубывающая функция распределения Править

Если функция F:\mathbb{R} \to [0,1] лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм.

  • Пусть U_1,\ldots ,U_n \sim U[0,1] — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
  • Тогда X_1,\ldots, X_n, где X_i = \inf\{x \mid F(x) = U_i\},\; i=1,\ldots, n, — выборка из интересующего нас распределения.

Замечания Править

  • Если F(x) строго возрастает, то F^{-1}(u) = \inf\{x \mid F(x) = u\}. Таким образом, модифицированный алгоритм для произвольной функции распределения включает в себя отдельно разобранный случай строго возрастающей функции распределения.
  • Несмотря на кажущуюся универсальность, данный алгоритм имеет серьёзные практические ограничения. Даже если функция распределения строго возрастает, вычислить её обратную не всегда просто, особенно если она не задана в виде элементарной функции, как, например, в случае нормального распределения. В случае функции распределения общего вида чаще всего необходимо численно находить точную нижнюю грань, что может быть очень трудоёмко.

Математическое обоснование Править

Пусть U\sim U[0,1], то есть F_U(u) = u,\; u\in [0,1]. Рассмотрим функцию распределения случайной величины X = \inf\{x \mid F(x) = U\}.

\mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(\inf\{x' \mid F(x') = U\} \leq x) = \mathbb{P}(U \leq F(x)) = F_U(F(x)) = F(x).

То есть X имеет функцию распределения F(x).

Викия-сеть

Случайная вики