Викия

Математика

Метод моментов нахождения оценок

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ме́тод моме́нтов нахождения оценок в математической статистике - это способ построения оценок, основанный на уравнивании теоретических и выборочных моментов.

ОпределениеПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n - выборка из распределения \mathbb{P}_{\theta}, зависящего от параметра \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}. Пусть есть функция g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, такая что g(X_1) интегрируема относительно меры \mathbb{P}_{\theta}, и

\mathbb{E}_{\theta}\left[g(X_1)\right] = f(\theta),

где f:\Theta \to \mathbb{R} - биекция. Тогда оценка

\hat{\theta}_{\mathrm{MM}} = f^{-1}\left(\overline{g(X)}\right) \equiv f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n g(X_i)\right)

называется оценкой параметра \theta \in \Theta методом моментов.

ЗамечанияПравить

  • По построению, \overline{g(X)} = f\left(\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}\right),

то есть оценка методом моментов получается путём приравнивания теоретического среднего g(X) с выборочным средним.

g(x) = x^k,\; k \in \mathbb{N}.

Состоятельность методаПравить

Если f \in C(\Theta), то есть функция f непрерывна, то оценка метода моментов состоятельна.

ПримерПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \Gamma(\alpha,\beta) - выборка из гамма распределения с неизвестными параметрами \alpha и \beta. Тогда

\mathbb{E}[X_i] = \alpha \beta,\; \mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\alpha(\alpha+1)\beta^2,\quad i=1,\ldots,n.

Тогда оценки метода моментов удовлетворяют системе уравнений:


\left\{
\begin{matrix}
\bar{X} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} \hat{\beta}_{\mathrm{MM}}\\
\overline{X^2} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} ( \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} + 1 ) \left( \hat{\beta}_{\mathrm{MM}} \right)^2,
\end{matrix}
\right.

откуда

\hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} = \frac{\left(\bar{X}\right)^2}{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2},

и

\hat{\beta}_{\mathrm{MM}} = \frac{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2}{\bar{X}}.

Викия-сеть

Случайная вики