Викия

Математика

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

ОписаниеПравить

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

  1. хотя бы один из коэффициентов a_{ii} при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать a_{11} \neq 0 (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
  2. все коэффициенты a_{ii} = 0, i = 1, 2, ..., n, но есть коэффициент a_{ij}, i \neq j, отличный от нуля (для определённости пусть будет a_{12} \neq 0).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

f(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{1n}x_1x_n) + f1(x_2, x_3, ..., x_n) =
= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 - \frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 + f1(x_2, x_3, ..., x_n) =
= \frac{1}{a_{11}}y_1^2 + f2(x_2, x_3, ..., x_n)

где y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{1n}x_n, а через f_2(x_2, x_3, ..., x_n) обозначены все остальные слагаемые. f_2(x_2, ..., x_n) представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных x_2, x_3, ..., x_n.

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что y_1 = \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}

Второй случай заменой переменных x_1 = y_1 + y_2, x_2 = y_1 - y_2, x_3 = y_3, ..., x_n = y_n сводится к первому.

Викия-сеть

Случайная вики