Викия

Математика

Метод Гаусса — Жордана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Метод Гаусса — Жордана используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Алгоритм Править

  1. Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
  2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
  3. Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
  4. Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
  5. Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
  6. После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
  7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
  8. Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Пример

Решим следующую систему уравнений:

x1-3x2+x3=0

5x1+x2-x3=2

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%201%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%204%20%26%202%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%201%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%209%20%26%203%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%203%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

Проведём следующие действия:

  • К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.
  • К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

Получим:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%5C%5C%20%201%20%26%5C%5C%20%201%20%26%20%7C%20%26%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%20-2%20%26%20-3%20%26%20%7C%20%26%201%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%20-6%20%26%20-8%20%26%20%7C%20%26%203%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

  • К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.
  • Строку 2 делим на -2

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%20%201%20%26%20%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%201%20%26%20%7B3%20%5C%5Cover%202%7D%20%26%20%7C%20%26%20-%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

  • К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.
  • К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%201%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%201%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%20-%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

  • К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%200%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%20%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%201%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%20-%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

В правом столбце получаем решение:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%3B%20%3B%20%5C%5C%20b%20%3D%20-%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%3B%20%3B%20%5C%5C%20c%20%3D%200%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> .

Ссылки Править

nl:Gauss-Jordaneliminatie

Викия-сеть

Случайная вики