Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Алгоритм[]

Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Пример

Решим следующую систему уравнений:

x1-3x2+x3=0

5x1+x2-x3=2

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.
К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

Получим:

К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.
Строку 2 делим на -2

К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.
К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%3B%20%3B%20%5C%5C%20b%20%3D%20-%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%3B%20%3B%20%5C%5C%20c%20%3D%200%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-13113418504eda0b5210a27" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> .

Ссылки[]

Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python

he:אלימינציית גאוס-ג'ורדן nl:Gauss-Jordaneliminatie

Метод Гаусса — Жордана

Алгоритм[]

Пример

Ссылки[]

Fan Feed