Викия

Математика

Методы интегрирования

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование Править

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.

Подведение под знак дифференциала Править

Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):

\int f(x)dx = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx} = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}.

Метод замены переменной (метод подстановки) Править

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.  Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл \int F(x)dx. Сделаем подстановку ~x=\varphi(t), где ~\varphi(t) — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда ~dx = \varphi'(t)\cdot dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.

Интегрирование выражений вида \int \sin^n x \cos^m x\,dx Править

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t. Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t. Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Примеры Править

Вычислить: \int \sin^2 x \cos x\,dx. Пусть \sin x=t\,, тогда \cos x\,dx=dt и  \int \sin^2 x \cos x\,dx =\int t^2 \,dt =\frac{t^3}{3} + C =\frac{\sin^3 x}{3} + C.

Интегрирование по частям Править

См. также основную статью: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du.

Или:

\int u \cdot v' \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u' \cdot dx.

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

\int P_{n+1}(x) e^x\,dx,

где P_{n+1}(x) — многочлен (n+1)-ой степени.

Интегрирование рациональных дробей Править

См. также основную статью: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов. Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей. Всякую правильную рациональную дробь \tfrac{P(x)}{Q(x)}, знаменатель которой разложен на множители

Q(x)= \prod^{n}_{i=1} (x-x_i)^{k_i} \cdot \prod^{m}_{j=1} (x^2+p_jx+q_j)^{s_j}

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

\frac{P(x)}{Q(x)}= \sum^{n}_{i=1} {\sum^{k_n}_{j=1} {\frac {A_{ij}} {(x-x_i)^j}} }+ \sum^{m}_{l=1} {\sum^{s_m}_{t=1} {\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x} {(x^2+p_lx+q_l)^t}} }

где A_{ij},\alpha _{lt}, \beta _{lt} — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Примеры Править

Вычислить: \int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

\frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{\alpha}{(x-3)} + \frac{\beta}{(x+3)}

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями: 



\alpha(x+3)+\beta(x-3)=2x+3

(\alpha+\beta)x+3\alpha-3\beta=2x+3


Следовательно 
\begin{cases}
\alpha+\beta=2\\
3\alpha-3\beta=3\\
\end{cases},
\begin{cases}
\alpha=\frac{3}{2}\\
\beta=\frac{1}{2}\\
\end{cases}

Тогда  \frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}

Теперь легко вычислить исходный интеграл \int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+3} = \frac{3}{2}\ln |x-3| + \frac{1}{2}\ln |x+3| + C = \frac{1}{2}\ln |(x-3)^3(x+3)| + C

Викия-сеть

Случайная вики