Викия

Математика

Мера множества

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий Евклидовой длины, площади и n-мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается, счётно-аддитивная мера.

ОпределенияПравить

Конечно-аддитивная мераПравить

Пусть задано пространство X с выделенным классом подмножеств \mathcal{F}, замкнутым относительно конечных пересечений и объединений. Функция \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] называется конечно-аддитивной мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \mu(\varnothing) = 0;
  2. Если \{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F} - конечное семейство попарно непересекающихся множеств из \mathcal{F}, т.е. E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j, то
    \mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n).

Счётно-аддитивная мераПравить

Пусть задано пространство X с выделенной σ-алгеброй \mathcal{F}. Функция \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] называется счётно-аддитивной (или σ-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \mu(\varnothing) = 0;
  2. (σ-аддитивность) Если \{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F} - счётное семейство попарно непересекающихся множеств из \mathcal{F}, т.е. E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j, то
\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n).

ЗамечанияПравить

  • Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
  • Если мера всего пространства конечна, т.е. \mu(X) < \infty, то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
  • На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с \sigma-алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.

ПримерыПравить

Вариации и обобщенияПравить


Эта статья содержит материал из статьи Мера множества русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики