Викия

Математика

Мера Жордана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного обьёма в n-мерном евклидовом пространстве.

ПостроениеПравить

Файл:Jordan illustration.png

Мера Жордана \ m\Delta параллелепипеда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i] в \mathbb R^n определяется как произведение m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i). Для ограниченного множества E\subset \mathbb R^n определяются: внешняя мера Жордана

m_eE=\inf\sum_km\Delta_k, \cup_k\Delta_k\supset E

и внутренняя мера Жордана

m_iE=\sup\sum_km\Delta_k, \cup_k\Delta_k\subset E, \Delta_k\cap\Delta_m если k\not=m,

здесь \ \Delta_k — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество \ E назывется измеримым по Жордану (квадрируемым при \ n = 2, кубируемым при \ n\ge3), если \ m_eE=m_iE. В этом случае мера Жордана равна \ mE=m_eE=m_iE.

СвойстваПравить

  • Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
  • Ограниченное множество E\subset\mathbb R^n измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
  • Внешняя мера Жордана одна и та же для E и \bar E (замыкания множества E) и равна мере Бореля \bar E.
  • Измеримые по Жордану множества образуют кольцо множеств, на котором мера Жордана конечно аддитивная функция.

ИсторияПравить

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

ЛитератураПравить

  • Реanо G., Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, 1887;
  • Jordan C, «J. math, puresetappl.», 1892, t. 8, p. 69—99;pl:Miara Jordana

Викия-сеть

Случайная вики