Викия

Математика

Матричный метод

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):


{ \begin{cases}
a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n
\end{cases} }

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:


A = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{pmatrix},

B = 
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix},

X = 
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}

Умножим это матричное уравнение слева на A^{-1} — матрицу, обратную к матрице A: A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B

Так как A^{-1}A = E, получаем X = A^{-1}B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

\det A \ne 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если \det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ Править


{ \begin{cases}
3x+2y-z=4; \\
2x-y+5z=23;\\
x+7y-z=5;
\end{cases} }

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

\begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix}=3-14+10-1-105+4=-103;

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}-1 & 5\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-34;

A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}2 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=7;

A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=15;


A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-5;

A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2;

A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=-19;


A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}=9;

A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}=-17;

A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-7;

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

C^{*}=\begin{pmatrix}-34 & 7 & 15\\ -5 & -2 & -19\\ 9 & -17 & -7\end{pmatrix};


(C^{*})^{T}=\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix};


A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot(C^{*})^{T}

Подставляя переменные в формулу, получаем:

A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix};

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

X=A^{-1}\cdot B;

X=\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}

Итак, x=2; y=1; z=4.

Матрица 2х2 Править

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\ 
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix}.

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что ad - bc = \det A \neq 0 .

Шаблон:Rq

Шаблон:Методы решения СЛАУ

Викия-сеть

Случайная вики