Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается $ \mathbb{E}X $ или иногда $ \operatorname{M}X $ (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение $ \mu $.
Определение 
Править
Пусть задано вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ и определённая на нём случайная величина $ X $. То есть, по определению, $ X:\Omega \to \mathbb{R} $ — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от $ X $ по пространству $ \Omega $, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается $ \mathbb{E}X $.
- $ \mathbb{E} X \equiv \int\limits_{\Omega} X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega). $
Основные формулы для математического ожидания Править
- Если $ F_X(x) $ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
- $ \mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, dF_X(x) $.
Математическое ожидание дискретного распределенияПравить
- Если $ X $ — дискретная случайная величина, имеющая распределение
- $ \mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1 $,
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
- $ \mathbb{E}X = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i $.
Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения Править
- Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $ f_X(x) $, равно
- $ \mathbb{E}X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, dx $.
Математическое ожидание случайного вектораПравить
Пусть $ X=(X_1,\ldots,X_n)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^n $ - случайный вектор. Тогда по определению
- $ \mathbb{E}X = (\mathbb{E}X_1,\ldots,\mathbb{E}X_n)^{\top} $,
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.
Математическое ожидание преобразования случайной величиныПравить
Пусть $ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ борелевская функция, такая что случайная величина $ Y = g(X) $ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:
- $ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i $,
если $ X $ имеет дискретное распределение;
- $ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx $,
если $ X $ имеет абсолютно непрерывное распределение.
Если распределение $ \mathbb{P}^X $ случайной величины $ X $ общего вида, то
- $ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\, \mathbb{P}^X(dx) $.
В специальном случае, когда $ g(X)=X^k $, Математическое ожидание $ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \mathbb{E} X^k $ называется k-тым моментом случайной величины.
Простейшие свойства математического ожидания Править
- Математическое ожидание линейно, то есть
$ \mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}X + b \mathbb{E}Y $,
где $ X,Y $ — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $ a,b\in \mathbb{R} $ — произвольные константы; - Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если $ 0 \leq X \leq Y $ почти наверное, и $ Y $ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины $ X $ также конечно, и более того
- $ 0 \leq \mathbb{E}X \leq \mathbb{E} Y $;
- Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если $ X = Y $ почти наверное, то
- $ \mathbb{E}X = \mathbb{E}Y $.
- Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $ X,Y $ равно произведению их математических ожиданий
- $ \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}X \cdot \mathbb{E}Y $.
Дополнительные свойства математического ожиданияПравить
- Неравенство Маркова;
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату.kl;;l;
ПримерыПравить
- Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $ \mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n. $ Тогда её математическое ожидание
- $ \mathbb{E}X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i $
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
- Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале $ [a,b] $, где $ a<b $. Тогда её плотность имеет вид $ f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x) $ и математическое ожидание равно
- $ \mathbb{E}X = \int\limits_{a}^b \frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2} $.
- Пусть случайная величина $ X $ имеет стандартное распределение Коши. Тогда
- $ \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\, dx = \infty $,
то есть математическое ожидание $ X $ не определено.
См. такжеПравить
- Дисперсия случайной величины;
- Моменты случайной величины;
- Условное математическое ожидание;
- Выборочное среднее.
Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.
