Математическое ожидание

У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается $\mathbb{E}X$ или иногда $\operatorname{M}X$ (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение $\mu$ .

Определение Править

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и определённая на нём случайная величина $X$ . То есть, по определению, $X:\Omega \to \mathbb{R}$ — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от $X$ по пространству $\Omega$ , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается $\mathbb{E}X$ .

$\mathbb{E} X \equiv \int\limits_{\Omega} X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).$

Основные формулы для математического ожидания Править

Если $F_X(x)$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

$\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, dF_X(x)$ .

Математическое ожидание дискретного распределенияПравить

Если $X$ — дискретная случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1$ ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

$\mathbb{E}X = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i$ .

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения Править

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f_X(x)$ , равно

$\mathbb{E}X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, dx$ .

Математическое ожидание случайного вектораПравить

Пусть $X=(X_1,\ldots,X_n)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^n$ - случайный вектор. Тогда по определению

$\mathbb{E}X = (\mathbb{E}X_1,\ldots,\mathbb{E}X_n)^{\top}$ ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величиныПравить

Пусть $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ борелевская функция, такая что случайная величина $Y = g(X)$ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

$\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i$ ,

если $X$ имеет дискретное распределение;

$\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx$ ,

если $X$ имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $\mathbb{P}^X$ случайной величины $X$ общего вида, то

$\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\, \mathbb{P}^X(dx)$ .

В специальном случае, когда $g(X)=X^k$ , Математическое ожидание $\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \mathbb{E} X^k$ называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания Править

Математическое ожидание линейно, то есть
$\mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}X + b \mathbb{E}Y$ ,
где $X,Y$ — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $a,b\in \mathbb{R}$ — произвольные константы;
Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если $0 \leq X \leq Y$ почти наверное, и $Y$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины $X$ также конечно, и более того
$0 \leq \mathbb{E}X \leq \mathbb{E} Y$ ;
Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если $X = Y$ почти наверное, то
$\mathbb{E}X = \mathbb{E}Y$ .
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $X,Y$ равно произведению их математических ожиданий
$\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}X \cdot \mathbb{E}Y$ .

Дополнительные свойства математического ожиданияПравить

ПримерыПравить

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.$ Тогда её математическое ожидание

$\mathbb{E}X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале $[a,b]$ , где $a<b$ . Тогда её плотность имеет вид $f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)$ и математическое ожидание равно