ФЭНДОМ


Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается $ \mathbb{E}X $ или иногда $ \operatorname{M}X $ (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение $ \mu $.

Определение Править

Пусть задано вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ и определённая на нём случайная величина $ X $. То есть, по определению, $ X:\Omega \to \mathbb{R} $измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от $ X $ по пространству $ \Omega $, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается $ \mathbb{E}X $.

$ \mathbb{E} X \equiv \int\limits_{\Omega} X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega). $

Основные формулы для математического ожидания Править

$ \mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, dF_X(x) $.

Математическое ожидание дискретного распределенияПравить

$ \mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1 $,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

$ \mathbb{E}X = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i $.

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения Править

$ \mathbb{E}X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, dx $.

Математическое ожидание случайного вектораПравить

Пусть $ X=(X_1,\ldots,X_n)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^n $ - случайный вектор. Тогда по определению

$ \mathbb{E}X = (\mathbb{E}X_1,\ldots,\mathbb{E}X_n)^{\top} $,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величиныПравить

Пусть $ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ борелевская функция, такая что случайная величина $ Y = g(X) $ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

$ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i $,

если $ X $ имеет дискретное распределение;

$ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx $,

если $ X $ имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $ \mathbb{P}^X $ случайной величины $ X $ общего вида, то

$ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\, \mathbb{P}^X(dx) $.

В специальном случае, когда $ g(X)=X^k $, Математическое ожидание $ \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \mathbb{E} X^k $ называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания Править

  • Математическое ожидание линейно, то есть
            $ \mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}X + b \mathbb{E}Y $,
    где $ X,Y $ — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $ a,b\in \mathbb{R} $ — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если $ 0 \leq X \leq Y $ почти наверное, и $ Y $ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины $ X $ также конечно, и более того
    $ 0 \leq \mathbb{E}X \leq \mathbb{E} Y $;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если $ X = Y $ почти наверное, то
    $ \mathbb{E}X = \mathbb{E}Y $.
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $ X,Y $ равно произведению их математических ожиданий
    $ \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}X \cdot \mathbb{E}Y $.

Дополнительные свойства математического ожиданияПравить

ПримерыПравить

$ \mathbb{E}X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i $

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

$ \mathbb{E}X = \int\limits_{a}^b \frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2} $.
$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\, dx = \infty $,

то есть математическое ожидание $ X $ не определено.

См. такжеПравить



Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.