Викия

Математика

Математическое ожидание

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается \mathbb{E}X или иногда \operatorname{M}X (в русской литературе). В статистике часто используют обозначение \mu.

Определение Править

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, X:\Omega \to \mathbb{R}измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от X по пространству \Omega, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается \mathbb{E}X.

\mathbb{E} X \equiv \int\limits_{\Omega} X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).

Основные формулы для математического ожидания Править

\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, dF_X(x).

Математическое ожидание дискретного распределенияПравить

\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

\mathbb{E}X = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i.

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения Править

\mathbb{E}X = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, dx.

Математическое ожидание случайного вектораПравить

Пусть X=(X_1,\ldots,X_n)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^n - случайный вектор. Тогда по определению

 \mathbb{E}X = (\mathbb{E}X_1,\ldots,\mathbb{E}X_n)^{\top},

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величиныПравить

Пусть g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i,

если X имеет дискретное распределение;

\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx,

если X имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение \mathbb{P}^X случайной величины X общего вида, то

\mathbb{E}\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\, \mathbb{P}^X(dx).

В специальном случае, когда g(X)=X^k, Математическое ожидание \mathbb{E}\left[g(X)\right] = \mathbb{E} X^k называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания Править

  • Математическое ожидание линейно, то есть
            \mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}X + b \mathbb{E}Y,
    где X,Y — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a,b\in \mathbb{R} — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если 0 \leq X \leq Y почти наверное, и Y — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того
    0 \leq \mathbb{E}X \leq \mathbb{E} Y;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X = Y почти наверное, то
    \mathbb{E}X = \mathbb{E}Y.
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий
    \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}X \cdot \mathbb{E}Y.

Дополнительные свойства математического ожиданияПравить

ПримерыПравить

\mathbb{E}X = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

\mathbb{E}X = \int\limits_{a}^b \frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}.
\int\limits_{-\infty}^{\infty} x\, f_X(x)\, dx = \infty,

то есть математическое ожидание X не определено.

См. такжеПравить



Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики