Математическое ожидание
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Обозначается 
или иногда 
(в русской литературе). В статистике часто используют обозначение 
.
Содержание |
[править] Определение
Пусть задано вероятностное пространство 
и определённая на нём случайная величина 
. То есть, по определению, 
— измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству 
, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .
[править] Основные формулы для математического ожидания
- Если
— функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
.
[править] Математическое ожидание дискретного распределения
- Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение
,
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
.
[править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
- Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью
, равно
.
[править] Математическое ожидание случайного вектора
Пусть 
- случайный вектор. Тогда по определению
,
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.
[править] Математическое ожидание преобразования случайной величины
Пусть 
борелевская функция, такая что случайная величина 
имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:
,
если имеет дискретное распределение;
,
если имеет абсолютно непрерывное распределение.
Если распределение 
случайной величины общего вида, то
.
В специальном случае, когда 
, Математическое ожидание 
называется k-тым моментом случайной величины.
[править] Простейшие свойства математического ожидания
- Математическое ожидание линейно, то есть
,
где
— случайные величины с конечным математическим ожиданием, а 
— произвольные константы;
- Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если если
почти наверное, и 
— случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
-
;
-
- Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если
почти наверное, то
-
.
-
- Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
-
.
-
[править] Дополнительные свойства математического ожидания
- Неравенство Маркова;
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату.kl;;l;
[править] Примеры
- Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть
Тогда её математическое ожидание
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
- Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале
, где 
. Тогда её плотность имеет вид 
и математическое ожидание равно
.
- Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда
,
то есть математическое ожидание не определено.
[править] См. также
- Дисперсия случайной величины;
- Моменты случайной величины;
- Условное математическое ожидание;
- Выборочное среднее.
Эта статья содержит материал из статьи Математическое ожидание русской Википедии.
