Викия

Математика

Математический анализ

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца 19 века и в частности использует наивную теорию множеств.

Курс анализа соответствует англо-американскому курсу Calculus I-III (в сети подробно описан курс Cornell Un.)

Исторический очерк Править

Официальной датой рождения дифференциального исчисления следует считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью Новый метод максимумов и минимумов ...[1], в сжатой и малодоступной форме излагавшую принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением. В 1688 Ньютон[2] независимо от Лейбница разрабатывал способ «флюксий», который по существу представляет собой вариант дифференциального исчисления.

Лейбниц и его ученикиПравить

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник[3], излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечет изменение другой. У Лопиталя эта связь дается при помощи плоских кривых: если M – подвижная точка плоской кривой, то ее декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причем изменение x влечет изменение y. Понятие функции отутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что "известна природа кривой". Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом... Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d.[4] ... Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется ... вторым дифференциалом.[5]
Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:
Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой. [6]
Отсюда получается x+dx=x, далее

dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.[7]
Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.[8] Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придает большое значение величине

y\frac{dx}{dy}-x,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль... Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.[9]
Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y=x^2, тогда в силу первого требования

2xdx+ dx^2=2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy=0.[10]. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделен на dx[11].

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x=a. Тогда точка кривой с x=a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x=a.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла[12]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

ЭйлерПравить

Перемены, произошедшие за последующие пол века, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница[13], однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счета (Шаблон:Lang-de) или аналитическое выражение.[14]

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.[15]
Подчеркивая, что "основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных", Эйлер перечисляет действия, "посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением".[16] Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа \infty[17]. В выражениях это число используется на ряду с натуральными числами. Напр., считается допустимой такое выражение для экспоненты

e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т.д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентые функции и в особенности два наиболее изученные их классы – показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций – взятия логарифма и экспоненты [18].

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{(x+y)},

а отсюда

2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sin x)^n

Полагая n=\infty и z=nx, он получает

2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty}\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z} ,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне).[19] В 19 веке с подачи Казорати[20] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа \infty.

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютонаформула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение \frac{d^ky}{dx^k}, которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой =Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди.[21]
В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., \Gamma-функции, эллиптические функции и т.д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

ЛагранжПравить

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций[22] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа[23] в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графический способ записи зависимости – ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\dots,

коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остается назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остается заметить, что

f'(x+h)=p+2qh+\dots,

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), т.е.

q=\frac{1}{2!}f''(x) и т.д.[24]

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и сполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.[25]

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.[26] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своем Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию

f(x)=e^{-1/x^2},

доопределенную нулем в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при x\not=0. Лишь в конце 19 века Прингсхейм[27] доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

\Psi(x)=\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx)}}{k!}.

Дальнейшее развитиеПравить

В XVIII веках были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции.

В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование неудобным, и предложил определение предела через ε-δ-язык;. Тогда математики стали сомневаться в существовании множества вещественных чисел. Дедекинд ввёл вещественные числа с помощью дедекиндовых сечений. В это время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантортеорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью.

БиблиографияПравить

Учебная литератураПравить

Шаблон:Викиучебникомодный учебник.

Стандартные учебники Править

На протяжеие уроков по дифференциальному и интегральному исчислению //Мат. анализ на EqWorld

  • Штурм. Курс анализа. Т.1,2 -- Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
  • Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2 // Мат. анализ на EqWorld

Историче книгиПравить

ПримечанияПравить


ar:تحليل رياضي

az:Riyazi analiz ca:Anàlisi matemàtica co:Analisa cs:Matematická analýza cy:Dadansoddi da:Matematisk analyseel:Μαθηματική ανάλυσηeo:Analitikofa:آنالیز ریاضیgd:Anailis matamataigeach he:אנליזה מתמטית io:Analitikoka:მათემატიკური ანალიზიla:Analysis lb:Analys (Mathematik) lij:Analixi Matematica lt:Matematinė analizė mk:Математичка анализа nl:Analyse (wiskunde) pl:Analiza matematycznasimple:Mathematical analysis sk:Matematická analýza sl:Matematična analiza sq:Analiza Matematike sr:Математичка анализа sv:Matematisk analysuk:Математичний аналіз


Ошибка цитирования Для существующего тега <ref> не найдено соответствующего тега <references/>

Викия-сеть

Случайная вики