Wikia

Математика

Математическая индукция

Обсуждение0
1408статей на этой вики

Математическая индукция в математике — это один из методов доказательства утверждений.

Принцип математической индукции для натуральных чисел Править

Пусть дано подмножество натуральных чисел A \subset \mathbb{N}. Пусть также справедливы следующие утверждения:

  1. 1\in A;
  2. \bigl(\{1,\ldots,n\} \subset A\bigr) \Rightarrow \bigl( n+1 \in A \bigr).

Тогда A = \mathbb{N}.

Замечание Править

Принцип математической индукции эквивалентен принципу минимума натуральных чисел. Один выводится из второго, и наоборот.

Доказательство методом математической индукции Править

Пусть имеется семейство утверждений \{P(n)\}_{n\in \mathbb{N}}. Пусть известно, что

  1. (база индукции) P(1) справедливо;
  2. (индукционный переход) из справедливости P(1),\ldots P(n) вытекает справедливость P(n+1).

Тогда все утверждения \{P(n)\} справедливы.

Пример Править

Покажем, что

 \forall n\in \mathbb{N}\; \forall q\in \mathbb{R}\setminus\{1\}\quad 1 + q + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1  -q}.
  • Проверим базу индукции:
    1 + q = \frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q}=\frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q}.
  • Проведём индукционный переход. Предположим, что утверждение доказано для m = 1,\ldots,n. Докажем его для m=n+1.
    1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q},

Таким образом утверждение верно для любого n\in \mathbb{N}.

Обобщения Править

Литература Править

Викия-сеть

Случайная вики