Викия

Математика

Математическая индукция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Математическая индукция в математике — это один из методов доказательства утверждений.

Принцип математической индукции для натуральных чисел Править

Пусть дано подмножество натуральных чисел A \subset \mathbb{N}. Пусть также справедливы следующие утверждения:

  1. 1\in A;
  2. \bigl(\{1,\ldots,n\} \subset A\bigr) \Rightarrow \bigl( n+1 \in A \bigr).

Тогда A = \mathbb{N}.

Замечание Править

Принцип математической индукции эквивалентен принципу минимума натуральных чисел. Один выводится из второго, и наоборот.

Доказательство методом математической индукции Править

Пусть имеется семейство утверждений \{P(n)\}_{n\in \mathbb{N}}. Пусть известно, что

  1. (база индукции) P(1) справедливо;
  2. (индукционный переход) из справедливости P(1),\ldots P(n) вытекает справедливость P(n+1).

Тогда все утверждения \{P(n)\} справедливы.

Пример Править

Покажем, что

 \forall n\in \mathbb{N}\; \forall q\in \mathbb{R}\setminus\{1\}\quad 1 + q + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1  -q}.
  • Проверим базу индукции:
    1 + q = \frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q}=\frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q}.
  • Проведём индукционный переход. Предположим, что утверждение доказано для m = 1,\ldots,n. Докажем его для m=n+1.
    1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q},

Таким образом утверждение верно для любого n\in \mathbb{N}.

Обобщения Править

Литература Править

Викия-сеть

Случайная вики