Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица , заполненная n² числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n².

Магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Файл:MagicSquare-ExplicitSums.png

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n	3 8 1 6 3 5 7 4 9 2	4 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16	5 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9	6	7	8	9	10	11	12	13
M </sub>(n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

Содержание 1 Исторически значимые магические квадраты 2 Квадраты с дополнительными свойствами 2.1 Дьявольский магический квадрат 3 Примеры более сложных квадратов 4 Шахматный подход 5 Литература 6 Ссылки 7 См. также

Исторически значимые магические квадраты Править

​

Квадраты с дополнительными свойствами Править

Дьявольский магический квадрат Править

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6

1 12 7 14 8 13 2 11 10 3 16 5 15 6 9 4

1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4

Однако было доказано (см., например, [1]), что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1	15	24	8	17
9	18	2	11	25
12	21	10	19	3
20	4	13	22	6
23	7	16	5	14

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный [2]. Пример идеального магического квадрата [3]:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	10	51	58	18	47	57	14	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
4	45	74	3	41	79	8	37	78
53	55	15	49	63	11	48	59	16
30	68	25	35	64	24	31	72	20
76	9	38	75	5	43	80	1	42
17	46	60	13	54	56	12	50	61

У идеальных магических квадратов порядок n обязательно нечетный.

Примеры более сложных квадратов Править

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. [4]). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

18 24 5 6 12 22 3 9 15 16 1 7 13 19 25 10 11 17 23 4 14 20 21 2 8

64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1

100 99 93 7 5 6 4 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40 60 52 48 44 56 55 47 43 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход Править

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек. .

Литература Править

• Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
• Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

Ссылки Править

• Магические квадраты: основные понятия; построение с помощью компьютера
• Методы построения магических квадратов
• Построение магических квадратов чётно-нечётного порядка методом четырёх квадратов
• Пандиагональные магические квадраты
• Нетрадиционные магические квадраты
• Полумагические квадраты
• Пандиагональные квадраты пятого порядка
• Базовые пандиагональные квадраты пятого порядка
• Ассоциативные магические квадраты
• Магические квадраты седьмого порядка
• Магические квадраты восьмого порядка
• Магические квадраты девятого порядка
• Магические квадраты одиннадцатого порядка
• Магические квадраты двенадцатого порядка
• Магические квадраты пятнадцатого порядка
• Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков
• Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9
• [5]
• [6]
• [7]
• [8]
• [9]
• Шахматный подход
• http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_mágico

См. также Править

• Латинский квадрат

Шаблон:Link FA

bn:জাদু বর্গ ca:Quadrat màgic da:Magisk kvadrateo:Magia kvadratofa:مربع وفقیgl:Cadrado máxico he:ריבוע קסם io:Magiala quadratoja:魔方陣nl:Magisch vierkant pl:Kwadrat magiczny (matematyka)ro:Pătrat magic sl:Magični kvadrat sv:Magisk kvadrat ta:மாயச் சதுரம் th:จัตุรัสกล zh:幻方