Викия

Математика

Магический квадрат

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

  1. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица n\times n, заполненная n^2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n^2.

Магические квадраты существуют для всех порядков n\ge 1, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Файл:MagicSquare-ExplicitSums.png Править

Сумма чисел в каждом столбце, строке и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n 3
16
8
4
6 4
10 9
4 8 5
5
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
6 7 8 9 10 11 12 13
M (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
 9 5
11

13 

7
5
15
  1. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table" style="width: 500px; "
17
11 27
13
26
18 17 22
23 16 15
19 21 20
26 30
34

24

28
33
48 18

Магический квадрат

\МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3 КЛАСС


деление суммы на число

 

28

33
48 18

внести кодировку

19+ 6+23=48

17+17+14 =48

28+10 +10 =48

Исторически значимые магические квадр Править

  1. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table" style="width: 500px;"

458 507 535 493 542



Квадраты с дополнительными свойствами Править

Дьявольский магический квадрат Править

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:


1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Однако не было било док было доказано (см., например, [1]), что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1 15 24 8 17
9 18 2 11 25
12 21 10 19 3
20 4 13 22 6
23 7 16 5 14

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный [2]. Пример идеального магического квадрата [3]:

21 32 70 26 28 69 22 36 65
40 81 2 39 77 7 44 73 6
62 10 51 58 18 47 57 14 52
66 23 34 71 19 33 67 27 29
4 45 74 3 41 79 8 37 78
53 55 15 49 63 11 48 59 16
30 68 25 35 64 24 31 72 20
76 9 38 75 5 43 80 1 42
17 46 60 13 54 56 12 50 61

У идеальных магических квадратов порядок n обязательно нечетный.

Примеры более сложных квадратов Править

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. [4]). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

15 10 9 12
16 19
17 18
14 13
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
100 99 93 7 5 6 4 8 92 91
11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
60 52 48 44 56 55 47 43 49 51
50 42 53 54 46 45 57 58 59 41
31 62 63 37 36 35 34 68 69 70
71 72 28 27 25 76 24 23 79 80
81 19 18 14 85 86 87 13 12 90
10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход Править

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек. .

Литература Править

  • Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
  • Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

Ссылки Править

См. также Править


Шаблон:Link FA

bn:জাদু বর্গ ca:Quadrat màgic da:Magisk kvadrateo:Magia kvadratofa:مربع وفقیgl:Cadrado máxico he:ריבוע קסם io:Magiala quadratonl:Magisch vierkant pl:Kwadrat magiczny (matematyka)sl:Magični kvadrat sv:Magisk kvadrat ta:மாயச் சதுரம் th:จัตุรัสกล

Викия-сеть

Случайная вики