Wikia

Математика

Магический квадрат

Обсуждение0
1416статей на этой вики
  1. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица n\times n, заполненная n^2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n^2.

Магические квадраты существуют для всех порядков n\ge 1, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Файл:MagicSquare-ExplicitSums.png

Сумма чисел в каждом столбце, строке и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n 3
9
4 8
5
4
1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16
5
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
6 7 8 9 10 11 12 13
M (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
 9 5
11

13 

7
5
15
  1. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table" style="width: 500px; "
17
11 27
13
26
18 17 22
23 16 15
19 21 20
26 30
34

24

26 30
34

24

Магический квадратПравить

\


 

95

245

215

36 28 22
25 30 31

внести коректировку

7+11+9=27

5+8+4=17

Исторически значимые магические квадр Править

  1. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table" style="width: 500px;"

458 507 535 493 542



Квадраты с дополнительными свойствами Править

Дьявольский магический квадрат Править

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:


1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Однако не было било док было доказано (см., например, [1]), что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1 15 24 8 17
9 18 2 11 25
12 21 10 19 3
20 4 13 22 6
23 7 16 5 14

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный [2]. Пример идеального магического квадрата [3]:

21 32 70 26 28 69 22 36 65
40 81 2 39 77 7 44 73 6
62 10 51 58 18 47 57 14 52
66 23 34 71 19 33 67 27 29
4 45 74 3 41 79 8 37 78
53 55 15 49 63 11 48 59 16
30 68 25 35 64 24 31 72 20
76 9 38 75 5 43 80 1 42
17 46 60 13 54 56 12 50 61

У идеальных магических квадратов порядок n обязательно нечетный.

Примеры более сложных квадратов Править

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. [4]). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

18 24 5 6 12
22 3 9 15 16
1 7 13 19 25
10 11 17 23 4
14 20 21 2 8
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
100 99 93 7 5 6 4 8 92 91
11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
60 52 48 44 56 55 47 43 49 51
50 42 53 54 46 45 57 58 59 41
31 62 63 37 36 35 34 68 69 70
71 72 28 27 25 76 24 23 79 80
81 19 18 14 85 86 87 13 12 90
10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход Править

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек. .

Литература Править

  • Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
  • Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

Ссылки Править

См. также Править


Шаблон:Link FA

bn:জাদু বর্গ ca:Quadrat màgic da:Magisk kvadrateo:Magia kvadratofa:مربع وفقیgl:Cadrado máxico he:ריבוע קסם io:Magiala quadratonl:Magisch vierkant pl:Kwadrat magiczny (matematyka)ro:Pătrat magic sl:Magični kvadrat sv:Magisk kvadrat ta:மாயச் சதுரம் th:จัตุรัสกล zh:幻方

Викия-сеть

Случайная вики