- Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица , заполненная числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от до .
Магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
Файл:MagicSquare-ExplicitSums.png[]
Сумма чисел в каждом столбце, строке и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:
Порядок n | 3
|
4
|
5
|
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 |
18 | 17 | 22 |
---|---|---|
23 | 16 | 15 |
19 | 21 | 20 |
26 | 30 |
---|---|
34 |
24 |
28 | ||
---|---|---|
33 | ||
48 | 18 |
Магический квадрат
\МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3 КЛАСС
деление суммы на число |
28 |
| |
---|---|---|
33 | ||
48 | 18 |
внести кодировку
19+ 6+23=48
17+17+14 =48
28+10 +10 =48
Исторически значимые магические квадр[]
- {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table" style="width: 500px;"
458 507 535 493 542
What the hell is that?
Квадраты с дополнительными свойствами[]
Дьявольский магический квадрат[]
Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.
Такие квадраты называются ещё пандиагональными.
Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:
|
|
|
Однако не было доказано (см., например, [1]), что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный [2]. Пример идеального магического квадрата [3]:
21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
У идеальных магических квадратов порядок n обязательно нечетный.
Примеры более сложных квадратов[]
Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. [4]). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:
|
|
|
Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов
Шахматный подход[]
Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.
.
Литература[]
- Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
- Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.
Ссылки[]
- Магические квадраты: основные понятия; построение с помощью компьютера
- Методы построения магических квадратов
- Построение магических квадратов чётно-нечётного порядка методом четырёх квадратов
- Пандиагональные магические квадраты
- Нетрадиционные магические квадраты
- Полумагические квадраты
- Пандиагональные квадраты пятого порядка
- Базовые пандиагональные квадраты пятого порядка
- Ассоциативные магические квадраты
- Магические квадраты седьмого порядка
- Магические квадраты восьмого порядка
- Магические квадраты девятого порядка
- Магические квадраты одиннадцатого порядка
- Магические квадраты двенадцатого порядка
- Магические квадраты пятнадцатого порядка
- Пандиагональные квадраты чётно-чётных порядков
- Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9
- [5]
- [6]
- [7]
- [8]
- [9]
- Шахматный подход
- http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_mágico
См. также[]
- Латинский квадрат
Шаблон:Link FA
bn:জাদু বর্গ ca:Quadrat màgic da:Magisk kvadrat eo:Magia kvadrato fa:مربع وفقی gl:Cadrado máxico he:ריבוע קסם io:Magiala quadrato nl:Magisch vierkant pl:Kwadrat magiczny (matematyka) sl:Magični kvadrat sv:Magisk kvadrat ta:மாயச் சதுரம் th:จัตุรัสกล