Викия

Математика

Локальная топологическая группа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Локальная топологическая группатопологическая группа, в которой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение локальных топологических групп было инспирировано изучением локальной структуры топологических групп (т. е. их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы).

Примером локальной топологической группы может служить любая окрестность единицы топологической группы . В теории локальных топологических групп принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, т. е. является ли всякая локальная топологическая группа локально изоморфной некоторой топологической группе. В общем случае ответ отрицателен, но в важном частном случае конечномерных локальных групп Ли — положителен.

Как и в теории топологических групп, в теории локальных топологических групп можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп.

ОпределениеПравить

Пусть G — топологическое пространство, e — некоторый его элемент, \Theta и \Omega — некоторые открытые подмножества в G и G\times G соответственно, e\in\Theta и i : \Theta\to G, m:\Omega\to G — некоторые непрерывные отображения. Тогда система (G, e, \Theta, \Omega, i, m) является локальной топологической группой, если выполнены условия:

  1. (e,g) и (g,e)\in \Omega для любого g\in G и m(e, g) = m(g,e)=g;
  2. если g,h,t\in  G и (g, h), (h, t), (m(g, h),  t), (g,  m(h,  t))\in \Omega, то m(m(g, h), t) = m(g,m(h,t));
  3. (g, i(g)) и (i(g), g)\in \Omega для любого g\in\Theta и m(g,  i(g)) = m(i(g), g) = e.

Обычно локальную топологическую группу (G, e, \Theta, \Omega, i, m) обозначают просто через G; элемент m(g, h) обозначают через gh и называется произведением g и h; элемент i(g) обозначают через g^{-1} и называется обратным к g; элемент е называется единицей локальной топологической группы G. Если (g, h)\in \Omega, то говорят, что произведение g и h определено; если g\in\Theta, то говорят, что для g определен обратный элемент.

Эти (определенные не для любых элементов) операции на G индуцируют структуру локальной топологической группы на любой окрестности единицы e в G.

Связанные определенияПравить

Пусть G_1 и G_2 — две локальные топологические группы

Локальным гомоморфизмом G_1 в G_2 называется, такое непрерывное отображение h некотирой окрестности U_1 единицы e_1 локальной топологической группы G_1 в некоторую окрестность U_2 единицы e_2 локальной топологической группы G_2, что h(e_1) = e_2 и для любых элементов g, h\in U_1, произведение которых в G_1 определено, произведение элементов f(g) и f (h) в G_2 также определено и f(gh) = f(g) f(h). Два локальных гомоморфизма G_1 в G_2 называют эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности единицы локальной топологической группы G_1. Пусть локальный гомоморфизм h является гомеоморфизмом окрестностей U_1 и U_2, а обратное отображение U_2\to U_1 является локальным гомоморфизмом G_2 в G_1. Тогда h называется локальным изоморфизмом G_1 в G_2. Две локальных топологических групп между которыми существует локальный изоморфизм, называются локально изоморфными. Например, любая локальная топологическая группа локально изоморфна любой своей окрестности единицы.

Викия-сеть

Случайная вики