Логнормальное
Плотность вероятностиГрафик плотности μ=0
Функция распределенияГрафик функции распределения μ=0
Параметры
σ
≥
0
{\displaystyle \sigma \geq 0 }
−
∞
≤
μ
≤
∞
{\displaystyle -\infty \le \mu \le \infty}
Носитель
x
∈
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle x \in [0; +\infty)\!}
Плотность вероятности
exp
(
−
[
ln
(
x
)
−
μ
σ
]
2
/
2
)
/
(
x
σ
2
π
)
{\displaystyle \exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.}
Функция распределения
1
2
+
1
2
E
r
f
[
ln
(
x
)
−
μ
σ
2
]
{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]}
Математическое ожидание
e
μ
+
σ
2
/
2
{\displaystyle e^{\mu+\sigma^2/2}}
Медиана
e
μ
{\displaystyle e^{\mu}}
Мода
e
μ
−
σ
2
{\displaystyle e^{\mu-\sigma^2}}
Дисперсия
(
e
σ
2
−
1
)
e
2
μ
+
σ
2
{\displaystyle (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}}
Коэффициент асимметрии
e
−
μ
−
σ
2
/
2
(
e
σ
2
+
2
)
e
σ
2
−
1
{\displaystyle e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}}
Коэффициент эксцесса
e
4
σ
2
+
2
e
3
σ
2
+
3
e
2
σ
2
−
6
{\displaystyle e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6}
Информационная энтропия
1
2
+
1
2
ln
(
2
π
σ
2
)
+
μ
{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu}
Производящая функция моментов
Характеристическая функция
Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений . Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение .
Определение [ ]
Пусть распределение случайной величины
X
{\displaystyle X}
задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:
f
X
(
x
)
=
{
1
x
σ
2
π
e
−
(
ln
x
−
μ
)
2
/
2
σ
2
,
x
>
0
0
,
x
≤
0
{\displaystyle f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\
0, & x \le 0
\end{matrix}
\right.}
,
где
σ
>
0
,
μ
∈
R
{\displaystyle \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}}
. Тогда говорят, что
X
{\displaystyle X}
имеет логнормальное распределение с параметрами
μ
{\displaystyle \mu}
и
σ
{\displaystyle \sigma}
. Пишут:
X
∼
L
o
g
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2)}
.
Моменты [ ]
Формула для
k
{\displaystyle k}
-го момента логнормальной случайной величины
X
{\displaystyle X}
имеет вид:
E
[
X
k
]
=
e
k
μ
+
k
2
σ
2
2
,
k
∈
N
,
{\displaystyle \mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},}
откуда в частности:
E
[
X
]
=
e
μ
+
σ
2
2
{\displaystyle \mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}}}
,
D
[
X
]
=
(
e
σ
2
−
1
)
e
2
μ
+
σ
2
{\displaystyle \mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}}
.
Свойства логнормального распределения [ ]
Если
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_1,\ldots ,X_n}
— независимые логнормальные случайные величины, такие что
X
i
∼
L
o
g
N
(
μ
,
σ
i
2
)
{\displaystyle X_i \sim \mathrm{LogN}(\mu, \sigma_i^2)}
, то их произведение также логнормально:
Y
=
∏
i
=
1
n
X
i
∼
L
o
g
N
(
n
μ
,
∑
i
=
1
n
σ
i
2
)
{\displaystyle Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right)}
.
Связь с другими распределениями [ ]
Если
X
∼
L
o
g
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2)}
, то
Y
=
ln
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle Y = \ln X \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)}
.
Моделирование логнормальных случайных величин [ ]
Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера , и вычислить её экспоненту.
gl:Distribución lognormal
su:Sebaran Log-normal