Викия

Математика

Логнормальное распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Логнормальное
Плотность вероятности
График плотности
μ=0
Функция распределения
График функции распределения
μ=0
Параметры \sigma \ge 0
-\infty \le \mu \le \infty
Носитель x \in [0; +\infty)\!
Плотность вероятности \exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.
Функция распределения \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]
Математическое ожидание e^{\mu+\sigma^2/2}
Медиана e^{\mu}
Мода e^{\mu-\sigma^2}
Дисперсия (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
Коэффициент асимметрии e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
Коэффициент эксцесса e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6
Информационная энтропия \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение Править

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\
0, & x \le 0 
\end{matrix}
\right.,

где \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}. Тогда говорят, что X имеет логнормальное распределение с параметрами \mu и \sigma. Пишут: X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2).

Моменты Править

Формула для k-го момента логнормальной случайной величины X имеет вид:

\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}},
\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}.

Свойства логнормального распределения Править

Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right).

Связь с другими распределениями Править

  • Если X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2), то
Y = \ln X \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2).

Моделирование логнормальных случайных величин Править

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
gl:Distribución lognormalsu:Sebaran Log-normal

Викия-сеть

Случайная вики