Викия

Математика

Логарифмическое распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Логарифмическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры 0 < p < 1\!
Носитель k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Функция вероятности \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
Функция распределения 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
Математическое ожидание \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
Медиана
Мода 1
Дисперсия -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
Характеристическая функция \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифимическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение Править

Пусть распределение случайной величины Y задаётся функцией вероятности:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots,

где 0 <p < 1. Тогда говорят, что Y имеет логарифмическое распределение с параметром p. Пишут: Y \sim \mathrm{Log}(p).

Функция распределения случайной величины Y кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

F_Y(y) = \left\{
\begin{matrix}
0, & y < 1 & \\
1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots
\end{matrix}\right.,

где \mathrm{B}_p — неполная бета-функция.

Замечание Править

То, что функция p_Y(k) действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

\ln(1-p) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left[ - \frac{p^k}{k} \right],\; 0<p<1,

откуда

\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1.

Моменты Править

Производящая функция моментов случайной величины Y \sim \mathrm{Log}(p) задаётся формулой

M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]},

откуда

\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p},
\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}.

Связь с другими распределениями Править

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть \{X_i\}_{i=1}^n последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots. Пусть N \sim \mathrm{P}(\lambda) — Пуассоновская случайная величина. Тогда

Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править

Викия-сеть

Случайная вики