Викия

Математика

Логарифм

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Логарифм числа a по основанию b равен показателю степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (если \log_b~a = x, то ~b^x=a). Широкое применение нашли логарифмы по основаниям e (число Эйлера) — натуральные логарифмы (\ln~a) и по основанию 10 — десятичные логарифмы (\lg~a), а также двоичные логарифмы (\log_2~a, \mathop{\mathrm{lb}}~a), которые применяются в теории информации и информатике.

Свойства логарифмов Править

\forall a,b,c>0 и a \ne 1

  • \log_a \left (bc \right) = \log_a b + \log_a c
  • \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c
  • {\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}
  • \log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b
  • \log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}
  • Основное логарифмическое тождество:
a^{log_a b} = b

Натуральный логарифм Править

При -1 < x \le 1 справедливо равенство

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + (1)

В частности,

\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится, и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+...\right) (2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа z.


Для производной натурального логарифма справедлива формула

(\ln t )' = \frac{1}{t}

Десятичные логарифмы Править

Логарифмы по основанию 10 (обозначение lg a) ранее широко применялись для вычислений. Это связано с тем, что если

а = b · 10n

то

lg a = lg b + n

Поэтому, если составить таблицы логарифмов для чисел от 1 до 10, то с их помощью можно найти логарифм любого числа, предварительно приведя его к стандартному виду (что легко делается вручную).

И наоборот, с помощью тех же таблиц можно возвести 10 в любую степень (т. е. найти число по его десятичному логарифму), используя тождество

10x = 10{x} · 10[x]

где {x} — дробная часть x, а [x] — целая часть x.

Шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

См. также Править

bg:Логаритъм ca:Logaritme cs:Logaritmus da:Logaritmeel:Λογάριθμοςeo:Logaritmofa:لگاریتمgl:Función logaritmo he:לוגריתם hr:Logaritam hu:Logaritmus ia:Logarithmo id:Logaritma io:Logaritmola:Logarithmus lt:Logaritmas lv:Logaritms nl:Logaritme no:Logaritme pl:Logarytmsimple:Logarithm sk:Logaritmus sl:Logaritem sr:Логаритам sv:Logaritm th:ลอการิทึมuk:Логарифм

Викия-сеть

Случайная вики