Линейно связное пространство

Лине́йно свя́зное простра́нство в общей топологии и математическом анализе — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой $[0,1] \subset \mathbb R$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}}).$ Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек $x,y \in X$ найдётся непрерывное отображение $f: [0, 1] \to X$ такое, что

  $f(0)=x,\;f(1)=y.$

• Пусть дано подмножество $M\subset X.$ Тогда на нём естественным образом определяется топология ${\mathcal {T}}_{M},$ индуцированная ${\mathcal {T}}.$ Если пространство $\left(M,{\mathcal {T}}_{M}\right)$ линейно связно, то подмножество $M$ также называется линейно связным в $X.$

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно.
• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
• Если пространство $X$ линейно связно и $x,y \in X$, то гомотопические группы $\pi _{1}(X,y)$ и $\pi _{1}(X,y)$ изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма $\pi _{1}(X,x)$.

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что $X=\mathbb {R} ,$ а $\mathcal{T}$ - стандартная топология числовой прямой. Тогда

• Подмножество $M\subset \mathbb {R}$ линейно связно тогда и только тогда, когда
      $\forall x,y\in M\quad (x\leq y)\Rightarrow {\bigl (}[x,y]\subset M{\bigr )},$
  то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным, открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  $(a,b),\;[a,b),\;(a,b],\;[a,b],\;(-\infty ,b),\;(-\infty ,b],\;(a,\infty ),\;[a,\infty ).$

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является $k$-связность (связность в размерности $k$). Пространство $X$ называется связным в размерности $k$, если любое отображение $r$-мерной сферы $S^{r}$ в $X$, где $r\leq k$, гомотопно постоянному отображению.

В частности, линейно связное пространство является 0-связным пространством, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.

Эта статья содержит материал из статьи Линейно связное пространство русской Википедии.