Викия

Математика

Линейное пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

ОпределениеПравить

Пусть дано поле k, элементы которого будем называть скалярами. Множество \mathcal{L} называется линейным или векторным пространством над k, а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

  • векторного сложения \mathcal{L} \times \mathcal{L} \to \mathcal{L}, обозначаемая x+y, где x,y\in \mathcal{L}, и
  • умножения вектора на скаляр k \times \mathcal{L} \to \mathcal{L}, обозначаемая \alpha x, где \alpha \in k,\; x\in \mathcal{L},

удовлетворяющие следующим условиям:

  1. \forall x,y\in \mathcal{L}\quad x+y = y+x.
  2. \forall x,y,z\in \mathcal{L}\quad (x+y)+z = x+(y+z).
  3. \exists \theta \in \mathcal{L}\; \forall x\in \mathcal{L} \quad x+\theta = x.
  4. \forall x \in \mathcal{L}\; \exists -x\in \mathcal{L} \quad x + (-x) = \theta.
  5. \forall \alpha,\beta \in k \; \forall x \in \mathcal{L} \quad \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x.
  6. \forall x \in \mathcal{L}\quad 1 x = x, где 1 - мультипликативная единица в k.
  7. \forall \alpha,\beta\in k \; \forall x \in \mathcal{L}\quad (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x.
  8. \forall \alpha \in k\; \forall x,y\in \mathcal{L}\quad \alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y.

Простейшие свойстваПравить

  1. Нейтральный элемент \theta \in L является единственным.
  2.  0\cdot\mathbf{x} = \theta для любого \mathbf{x} \in L.
  3. Для любого \mathbf{x} \in L противоположный элемент -\mathbf{x} \in L является единственным.
  4. (-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L.
  5. (-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x}) для любых \alpha \in P и \mathbf{x} \in L.

Связанные определения и свойстваПравить

  • Линейное подпространство или
называется линейной комбинацией элементов \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L с коэффициентами \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P.
  • Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • Элементы \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу \mathbf{0} \in L. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
    • Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
  • Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
  • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор \mathbf{x} \in L можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n.

ПримерыПравить

Дополнительные структурыПравить

См. такжеПравить

СсылкиПравить



Эта статья содержит материал из статьи Линейное пространство русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики