Викия

Математика

Линейная независимость

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, т.е. факторы единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

ПримерПравить

В \mathbb{R}^3 векторы (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) линейно независимы, т.к. уравнение

a_1\cdot(1,0,0) + a_2\cdot(0,1,0) + a_3\cdot(0,0,1) = (0,0,0) \quad a_i \in \mathbb{R}

имеет только одно, тривиальное, решение. Векторы (1,0,0) и (5,0,0) являются линейно зависимыми, т.к.

(1,0,0) \cdot 5 = (5,0,0)

а значит

-5 \cdot (1,0,0)  + 1 \cdot (5,0,0) = (0,0,0)

Определение Править

Пусть V будет линейное пространство над полем K и M \subseteq V. M называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество M' = \{v_1, v_2, ..., v_n\} называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, т.е. состоит из факторов, равных нулю:

a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n = 0 \quad \Rightarrow \quad a_1 = a_2 = ... = a_n = 0

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним a_i \neq 0, M' называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается 0 \in V, а во втором 0 \in K.

Свойства Править

  • 0 \in M \Rightarrow M линейно зависимо
  • M линейно независимо \Rightarrow M' линейно независимо для всех M' \subseteq M
  • M линейно зависимо \Rightarrow M' линейно зависимо для всех M' \supseteq M

Значение Править

Линейные системы уравнений Править

Линейная система уравнений имеет однозначное решение только тогда, когда столбцы матрицы коэффициентов являются линейно независимыми.

Базис Править

Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.


См. также Править


eo:Lineara sendependecofa:مستقل خطیhe:תלות לינארית

hu:Lineáris függetlenségnl:Lineaire onafhankelijkheid pl:Wektory liniowo niezależnesl:Linearna neodvisnost sv:Linjärt oberoende ur:لکیری آزادی vi:Độc lập tuyến tính

Викия-сеть

Случайная вики