Викия

Математика

Лемма о вложенных отрезках

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Лемма о вложенных отрезках в математическом анализе — это фундаментальное утверждение, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Формулировка Править

Пусть дана последовательность вложенных отрезков \{X_n\}_{n=1}^{\infty}, то есть X_n = [a_n,b_n],\; X_{n+1} \subset X_n,\; n\in \mathbb{N}. Тогда

  1. найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть
    \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.
  2. если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:
    \left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).

Замечание Править

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \emptyset.

Доказательство Править

Из определения о вложенных отрезках.

 \left\{ a_n \right\} \uparrow , что для любого n : a_n<b_1\,\!, следовательно существует \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\

 \left\{ b_n \right\} \downarrow , что для любого n : b_n<a_1\,\!, и существует \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\


Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке  \left\{ a_n \right\}  и  \left\{ b_n \right\}  равны. Из этого следует,  \lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\


Как нам известно \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\ ,   \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\ , е7е 

 \lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime

Что и требовалось доказать.


Шаблон:Нет интервики

Викия-сеть

Случайная вики