ФЭНДОМ


Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей.

Формулировка из функционального анализа Править

Пусть фиксировано пространство с мерой $ (X,\mathcal{F},\mu) $. Предположим, что $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} $ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций на $ X $. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

$ \int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) $.

Формулировка из теории вероятностей Править

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $ \Omega $, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин $ \{X_n\}_{n=1}^{\infty} $. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

$ \mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n. $


Эта статья содержит материал из статьи Лемма Фату русской Википедии.