Лемма Гейне — Бореля — Лебега

Лемма Гейне — Бореля — Лебега устанавливает необходимое и достаточное условие компактности множества. В зависимости от общности контекста лемма принимает различные формулировки.

Формулировка

Пусть дано метрическое пространство $(X,\varrho)$. Тогда его подмножество $M \subset X$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.

Следствия

• (Лемма Бореля — Лебега для евклидовых пространств.) Пусть дано евклидово пространство $\R^m$. Тогда подмножество $M \subset \R^m$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
• (Лемма Бореля — Лебега для отрезка.) Отрезок числовой прямой $[a,b] \subset \mathbb{R}$ компактен.