ФЭНДОМ


Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей - это результат, касающейся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая леммаПравить

Пусть дано вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ и последовательность событий $ \{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F} $. Обозначим

$ A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \right) $.

Тогда если ряд $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) $ сходится, то $ \mathbb{P}(A) = 0 $.

Вторая леммаПравить

Если все события $ \{A_n\}_{n=1}^{\infty} $ совместно независимы, и ряд $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) $ расходится, то $ \mathbb{P}(A) = 1 $.

ЗамечаниеПравить

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Лемма Бореля — Кантелли русской Википедии.