Лемма Бернсайда

Лемма Бернсайда.

Существует в нескольких видах: упрощенный, весовой, ограниченный. В словесной формулировке упрощенная лемма утверждает, что количество орбит в подгруппе симметрической группы равно средневзвешенному количеству петель в перестановке. Лемма используется при доказательстве теоремы Редфилда-Пойа.

Упрощенный вид

$N(G) = |G|^{-1} \sum_{\pi \in G}{ \lambda }_1 ( \pi ) ,$

где ${ \lambda }_1 ( \pi )$ — количество петель (циклов длины один) в перестановке $\pi$.

Весовой вид

$\sum_{j=1}^{N(G)}W({O}^j) = |G|^{-1} \sum_{\pi \in G} \sum_{a = \pi(a)} \omega(a) ,$

где $W({O}^j)$ — вес орбиты ${O}^j$ (вес любого ее представителя). $\omega(a)$ — вес элемента. he:הלמה של ברנסייד