Викия

Математика

Курс математического анализа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение2 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

надо добавить и согласовать - это первый семестр Править

  • Множества и операции над ними. Отношения на множествах.
  • Определение функции и простейшие свойства их.
  • Понятие мощности, свойства счётных множеств.
  • Существование несчётных множеств, континуум.
  • Теорема Кантора-Бернштейна.
  • Мощность множества рациональных чисел и отрезка вещественной прямой.
  • Полная упорядоченность множества натуральных чисел и принцип математической индукции.
  • Определение поля. Примеры.
  • Определение упорядоченного поля. Точные грани множеств.
  • Полное поле. Неполнота поля рациональных чисел.
  • Вещественные числа, как бесконечные дроби.
  • k-ичное разложение рациональных и вещественных чисел.
  • Аксиома Архимеда. Архимедоввыа
  • Плотность Q в R.
  • Формулировка принципов полноты.
  • Открытые и замкнутые множества в R, их свойства.
  • Предел последовательности, предел функции в точке.
  • Теоремы единственности и ограниченности.
  • Теоремы о пределе суммы, произведения, частного.
  • Предельный переход в неравенстве.
  • Признаки существования предела.
  • Первый замечательный предел lim(sin(x)/x)=1. Число е.
  • Критерий существования предела функции в точке (через односторонние пределы). Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.
  • Теорема о пределе сложной функции.
  • Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
  • Понятие секвенциальной компактности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
  • Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.
  • Фундаментальные последовательности Коши и их свойства.
  • Асимптотическое поведение функций. Свойства O(f(x)), o(f(x)), ~.
  • Непрерывность функции в точке, связь с пределами.
  • Классификация точек разрыва.
  • Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра.
  • Локальные свойства непрерывных функций: сохранение знака, суммы, произведения, частные и композиции непрерывных функций.
  • Глобальные свойства непрерывных функций: прообразы и образы открытых и замкнутых множеств.
  • Теорема Больцано о промежуточных значениях непрерывной функции и о сохранении связности при непрерывном отображении.
  • Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении sup, inf непрерывной на отрезке функции.
  • Критерий непрерывности монотонной функции.
  • Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.
  • Теорема о гомеоморфизме.
  • Определение и свойства функций a^x и log_a(x), a\in R.
  • Определение и свойства функции x^a:R\to R, a\in R
  • Второй замечательный предел lim(1+x)^{1/x}=e.
  • Свойства тригонометрических функций и обратных к ним.
  • Дифференцируемость функции в точке, производная, односторонние производные, касательная к графику функции.
  • Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, композиции непрерывных функций и обратной функции.
  • Производные элементарных функций.
  • Свойства производных высших порядков. Правило Лейбница.
  • Теоремы Ферма, Ролля и формула Лагранжа конечных приращений.
  • Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
  • Теорема единственности полинома Тейлора.
  • Многочлены Тейлора элементарных функций.
  • Теорема Коши о конечных приращениях. Правила Лопиталя.
  • Критерии монотонности и строгой монотонности функции.
  • Достаточные признаки локального экстремума.
  • Достаточные условия выпуклости и точек перегиба функции.

второй семестр Править

  • Первообразная и неопределенный интеграл, и их свойства.
  • Правило Остроградского интегрирования рациональных функций.
  • Определенный интеграл Римана, его единственность.
  • Небходимое условие интегрируемости по Риману.
  • Суммы Дарбу и формулы Дарбу.
  • Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.
  • Числовые множества нулевой длины и нулевой меры. Их свойства.
  • Множество Кантора и его свойства.
  • Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
  • Длина и мера подмножеств R. Множества, измеримые по Жордану.
  • Свойства интеграла Римана.
  • Непрерывность интеграла Римана, как функции верхнего предела.
  • Дифференцируемость интеграла Римана, как функции верхнего предела.
  • Первая и вторая интегральные теоремы о среднем.
  • Приложения определенного интеграла Римана.
  • Топологические, нормированные и метрические пространства:
  • определения и примеры. Метрики в R^n.
  • Вариация вектор-функций. Теорема Жордана о функциях ограниченной вариации.
  • Пути и кривые в R^n, длина кривой, касательная к кривой.
  • Полные метрические пространства, полнота R^n.
  • Свойства непрерывных отображений метрических пространств.
  • Свойства компактных и секвенциально-компактных подмножеств метрических пространств.
  • Критерий компактности в R^n.
  • Связные подмножества топологических пространств. Сохранение связности при непрерывных отображениях. Теорема Больцано.
  • Выпуклые и линейно-связные подмножества в R^n.
  • Частные производные и теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных.
  • Дифференцируемость функций многих переменных, дифференциал dF(x) отображения F:R^n --> R^m и его свойства. Матрица Якоби J_F(x).
  • Достаточное условие дифференцируемости в точке.
  • Теорема о дифференциале сложной функции и ``цепное правило вычисления частных производных.
  • Теорема о дифференциале обратной функции.
  • Формула Тейлора для гладких числовых функций многих переменных.
  • Второй дифференциал числовой функции многих переменных.
  • Локальный экстремум числовой функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума в точке.
  • Формулировки теоремы о локальном диффеоморфизме и теоремы о неявной функции и ее дифференциале.
  • Касательная плоскость к поверхностям в R^n, определение и способы задания.
  • Гладкие многообразия в R^n, неособые многообразия, примеры.
  • Условный локальный экстремум числовой функции многих переменных, примеры. «Правило множителей» Лагранжа.
  • Достаточный признак условного локального экстремума числовой функции многих переменных.
  • Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости числовых функций многих переменных.

третий семестр Править

  • Определение числовых рядов, произведений, несобственных интегралов и их сходимости. Их свойства.
  • Критерий Коши сходимости рядов, произведений, несобственных интегралов.
  • Критерий сходимости знакоположительных рядов и несобственных интегралов, теорема сравнения.
  • Признак д'Аламбера и радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.
  • Интегральный признак сходимости знакоположительного ряда.
  • Признак Раабе сходимости знакоположительного ряда.
  • Критерий и достаточное условие сходимости бесконечного произведения.
  • Критерий Лейбница сходимости знакочередующегося ряда и оценка остатка такого ряда.
  • Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
  • Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда.
  • Свойства условно сходящихся рядов.
  • Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.
  • Теоремы о замене переменных и об интегрировании по частям в несобственном интеграле.
  • Абсолютно и условносходящиеся несобстенные интегралы: пример - интеграл Дирихле.
  • Определения поточечной, равномерной, неравномерной сходимости функциональных последовательностей, рядов и несобственных интегралов, зависящих от параметра.
  • Примеры неравномерно сходящихся функциональных последовательностей, рядов, несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Непрерывность интеграла Римана зависящего от параметра.
  • Дифференцируемость интеграла Римана зависящего от параметра.
  • Интегрирование интеграла Римана зависящего от параметра.
  • Критерий Коши равномерной сходимости.
  • Критерий Гейне равномерной сходимости.
  • Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
  • Теорема Дини о достаточном условии равномерной сходимости.
  • Признак Дирихле равномерной сходимости.
  • Признак Абеля равномерной сходимости.
  • Теорема о предельном переходе в равномерно сходящейся функциональной последовательности и ее следствия.
  • Теорема о полноте С(К) в метрике Чебышева.
  • Теорема о непрерывности равномерно сходящихся несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Интегрирование по Риману равномерного предела функциональных последовательностей и рядов.
  • Интегрирование по конечному отрезку равномерно сходящихся несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Интегрирование функциональных последовательностей и рядов по бесконечному промежутку.
  • Теорема о перестановке порядка интегрирования в несобственном интеграле.
  • Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
  • Дифференцирование несобственных интегралов зависящих от параметра.
  • Интеграл Дирихле.
  • Интеграл Пуассона.
  • Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей.
  • Предкомпактность и ее критерий в полном метрическом пространстве.
  • Критерий Арцела-Асколи предкомпактности в С(К).
  • Теорема Абеля для степенных рядов, радиус сходимости степенного ряда.
  • Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
  • Свойства степенных рядов внутри области сходимости: единственность, равномерная сходимость, непрерывность, дифференцируемость интегрируемость.
  • Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры.
  • Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
  • Г-функция Эйлера и ее свойства.
  • B-функция Эйлера и ее свойства.
  • Ортогональные системы функций. Примеры: система Лежандра и тригонометрическая система.
  • Ортонормированная система функций. Ряды Фурье и их сходимость.
  • Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
  • Свойства рядов Фурье.
  • Теорема Фишера-Риса.
  • Свойства замкнутых ортонормированных систем функций.
  • Разложимость непрерывно-дифференцируемых периодических функций в равномерно сходящийся ряд по тригонометрической системе.

четвёртый семестр Править

  • Определение интеграла Римана на n-мерном брусе. Необходимое условие интегрируемости.
  • Нижние и верхние интегральные суммы Дарбу, их свойства.
  • Нижний и верхний интегралы Дарбу. Теорема Дарбу.
  • Критерий Дарбу интегрируемости на n-мерном брусе.
  • Множество лебеговой меры нуль в R^n. Критерий Лебега интегрируемости на n-мерном брусе.
  • Мера Жордана(объем) множества. Измеримые по Жордану множества.
  • Определение интеграла Римана на измеримом по Жордану множестве.
  • Критерий Лебега интегрируемости на измеримом по Жордану множестве.
  • Основные свойства интеграла.
  • Интеграл от неотрицательной функции.
  • Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини.
  • Формулы для вычисления объемов измеримых по Жордану множеств.
  • Измеримые множества и гладкие отображения.
  • Замена переменных в кратном интеграле: одномерный случай.
  • Замена переменных в кратном интеграле: случай простейшего диффеоморфизма в R^n.
  • Композиция отображений и формула замены переменных.
  • Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
  • Формула замены переменных в кратном интеграле в общем случае.
  • Замена переменных при отображениях измеримых множеств.
  • Инвариантность интеграла. Инвариантность меры Жордана.
  • Пренебрежимые множества. Формула замены переменных.
  • Определение несобственного кратного интеграла.
  • Мажорантный признак сходимости несобственного кратного интеграла.
  • Криволинейный интеграл 1-го рода, основные свойства.
  • Ориентация кусочно-гладкой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода, основные свойства.
  • Формула Грина.
  • Площадь поверхности и ее вычисление.
  • Поверхностный интеграл 1-го рода, основные свойства.
  • Ориентация кусочно-гладкой поверхности. Поверхностный интеграл 2-го рода, основные свойства.
  • Формула Остроградского.
  • Формула Стокса.
  • Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор, их инвариантность.
  • Основные интегральные формулы анализа в векторной трактовке.
  • Геометрический смысл дивергенции и ротора.
  • Соленоидальные векторные поля.
  • Потенциальные векторные поля. Условие потенциальности поля в односвязной области.

Литература Править

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учеб.:В 2 ч.М.: Наука, 1982. 2ч.
  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб. М.: Наука, 1979. 719 с.
  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб.:В 2 ч. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985-1987. 2 ч.
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб.: В 2 т.М.: Наука, 1981. 2 т.
  • Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.:В 2 т.М.: Наука, 1983. 2 т.
  • Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 736 с.
  • Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб. М.: Наука, 1979. 319 с.
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учеб. М.: Наука, 1981. 542 с.
  • Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб.пособие.М.: Наука, 1974. 480 с.
  • Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. М.:: Наука, 1979. 527 с.
  • Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие: В 2 ч. М.: Наука, 1984-1986. 2 ч.
  • Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.:В 4 т. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.
  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб.пособие: В 3 т. М.: Наука, 1969-1970. 3 т.
  • Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
  • Камынин Л.И. Курс математического анализа, том 1-2, М, МГУ, 1993.



Викия-сеть

Случайная вики