- Множество. Операции над множествами. Бинарное отношение. Отношение эквивалентности. Фактор-множество.
- Отношение порядка. Верхняя и нижняя грани. Полностью упорядоченное множество. Точные верхняя и нижняя грани.
- Функция. Образ. Прообраз. Инъекция. Сюръекция. Биекция.
- Натуральные числа. Принцип Архимеда. Математическая индукция. Рациональные числа.
- Мощность множества. Теорема Кантора — Бернштейна. Конечное множество. Счётное множество. Несчётное множество. Континуум.
- Поле . Упорядоченное поле . Полное упорядоченное поле . Построение вещественных чисел . Принцип полноты Вейерштрасса. Принцип полноты Дедекинда. Теорема отделимости . Принцип полноты Кантора.
- Стандартная топология числовой прямой: внутренняя точка множества, изолированная точка множества, предельная точка, Принципы полноты поля действительных чисел. Расширенная числовая прямая .
- Мощность множества . Конечное множество . Счётное множество . Континуум .
- Дифференцируемая функция , производная функции , односторонние производные , формула конечных приращений , теорема Ролля , формула Тейлора , дифференциалы и производных высших порядков . Правила дифференцирования . Таблица производных .
- Исследование функций с помощью производных. монотонная функция . Выпуклая функция . Особая точка .
- Дифференцирование сложной функции . Полная производная функции . Инвариантность формы первого дифференциала.
надо добавить и согласовать - это первый семестр[]
- Множества и операции над ними. Отношения на множествах.
- Определение функции и простейшие свойства их.
- Понятие мощности, свойства счётных множеств.
- Существование несчётных множеств, континуум.
- Теорема Кантора-Бернштейна.
- Мощность множества рациональных чисел и отрезка вещественной прямой.
- Полная упорядоченность множества натуральных чисел и принцип математической индукции.
- Определение поля. Примеры.
- Определение упорядоченного поля. Точные грани множеств.
- Полное поле. Неполнота поля рациональных чисел.
- Вещественные числа, как бесконечные дроби.
- k-ичное разложение рациональных и вещественных чисел.
- Аксиома Архимеда. Архимедоввыа
- Плотность Q в R.
- Формулировка принципов полноты.
- Открытые и замкнутые множества в R, их свойства.
- Предел последовательности, предел функции в точке.
- Теоремы единственности и ограниченности.
- Теоремы о пределе суммы, произведения, частного.
- Предельный переход в неравенстве.
- Признаки существования предела.
- Первый замечательный предел lim(sin(x)/x)=1. Число е.
- Критерий существования предела функции в точке (через односторонние пределы). Теорема о существовании односторонних пределов монотонной функции.
- Теорема о пределе сложной функции.
- Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
- Понятие секвенциальной компактности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.
- Фундаментальные последовательности Коши и их свойства.
- Асимптотическое поведение функций. Свойства O(f(x)), o(f(x)), ~.
- Непрерывность функции в точке, связь с пределами.
- Классификация точек разрыва.
- Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра.
- Локальные свойства непрерывных функций: сохранение знака, суммы, произведения, частные и композиции непрерывных функций.
- Глобальные свойства непрерывных функций: прообразы и образы открытых и замкнутых множеств.
- Теорема Больцано о промежуточных значениях непрерывной функции и о сохранении связности при непрерывном отображении.
- Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении sup, inf непрерывной на отрезке функции.
- Критерий непрерывности монотонной функции.
- Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.
- Теорема о гомеоморфизме.
- Определение и свойства функций a^x и log_a(x), a\in R.
- Определение и свойства функции x^a:R\to R, a\in R
- Второй замечательный предел lim(1+x)^{1/x}=e.
- Свойства тригонометрических функций и обратных к ним.
- Дифференцируемость функции в точке, производная, односторонние производные, касательная к графику функции.
- Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, композиции непрерывных функций и обратной функции.
- Производные элементарных функций.
- Свойства производных высших порядков. Правило Лейбница.
- Теоремы Ферма, Ролля и формула Лагранжа конечных приращений.
- Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
- Теорема единственности полинома Тейлора.
- Многочлены Тейлора элементарных функций.
- Теорема Коши о конечных приращениях. Правила Лопиталя.
- Критерии монотонности и строгой монотонности функции.
- Достаточные признаки локального экстремума.
- Достаточные условия выпуклости и точек перегиба функции.
второй семестр[]
- Первообразная и неопределенный интеграл, и их свойства.
- Правило Остроградского интегрирования рациональных функций.
- Определенный интеграл Римана, его единственность.
- Небходимое условие интегрируемости по Риману.
- Суммы Дарбу и формулы Дарбу.
- Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.
- Числовые множества нулевой длины и нулевой меры. Их свойства.
- Множество Кантора и его свойства.
- Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
- Длина и мера подмножеств R. Множества, измеримые по Жордану.
- Свойства интеграла Римана.
- Непрерывность интеграла Римана, как функции верхнего предела.
- Дифференцируемость интеграла Римана, как функции верхнего предела.
- Первая и вторая интегральные теоремы о среднем.
- Приложения определенного интеграла Римана.
- Топологические, нормированные и метрические пространства:
- определения и примеры. Метрики в R^n.
- Вариация вектор-функций. Теорема Жордана о функциях ограниченной вариации.
- Пути и кривые в R^n, длина кривой, касательная к кривой.
- Полные метрические пространства, полнота R^n.
- Свойства непрерывных отображений метрических пространств.
- Свойства компактных и секвенциально-компактных подмножеств метрических пространств.
- Критерий компактности в R^n.
- Связные подмножества топологических пространств. Сохранение связности при непрерывных отображениях. Теорема Больцано.
- Выпуклые и линейно-связные подмножества в R^n.
- Частные производные и теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных.
- Дифференцируемость функций многих переменных, дифференциал dF(x) отображения F:R^n --> R^m и его свойства. Матрица Якоби .
- Достаточное условие дифференцируемости в точке.
- Теорема о дифференциале сложной функции и ``цепное правило вычисления частных производных.
- Теорема о дифференциале обратной функции.
- Формула Тейлора для гладких числовых функций многих переменных.
- Второй дифференциал числовой функции многих переменных.
- Локальный экстремум числовой функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума в точке.
- Формулировки теоремы о локальном диффеоморфизме и теоремы о неявной функции и ее дифференциале.
- Касательная плоскость к поверхностям в R^n, определение и способы задания.
- Гладкие многообразия в R^n, неособые многообразия, примеры.
- Условный локальный экстремум числовой функции многих переменных, примеры. «Правило множителей» Лагранжа.
- Достаточный признак условного локального экстремума числовой функции многих переменных.
- Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости числовых функций многих переменных.
третий семестр[]
- Определение числовых рядов, произведений, несобственных интегралов и их сходимости. Их свойства.
- Критерий Коши сходимости рядов, произведений, несобственных интегралов.
- Критерий сходимости знакоположительных рядов и несобственных интегралов, теорема сравнения.
- Признак д'Аламбера и радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.
- Интегральный признак сходимости знакоположительного ряда.
- Признак Раабе сходимости знакоположительного ряда.
- Критерий и достаточное условие сходимости бесконечного произведения.
- Критерий Лейбница сходимости знакочередующегося ряда и оценка остатка такого ряда.
- Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
- Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда.
- Свойства условно сходящихся рядов.
- Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.
- Теоремы о замене переменных и об интегрировании по частям в несобственном интеграле.
- Абсолютно и условносходящиеся несобстенные интегралы: пример - интеграл Дирихле.
- Определения поточечной, равномерной, неравномерной сходимости функциональных последовательностей, рядов и несобственных интегралов, зависящих от параметра.
- Примеры неравномерно сходящихся функциональных последовательностей, рядов, несобственных интегралов зависящих от параметра.
- Непрерывность интеграла Римана зависящего от параметра.
- Дифференцируемость интеграла Римана зависящего от параметра.
- Интегрирование интеграла Римана зависящего от параметра.
- Критерий Коши равномерной сходимости.
- Критерий Гейне равномерной сходимости.
- Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
- Теорема Дини о достаточном условии равномерной сходимости.
- Признак Дирихле равномерной сходимости.
- Признак Абеля равномерной сходимости.
- Теорема о предельном переходе в равномерно сходящейся функциональной последовательности и ее следствия.
- Теорема о полноте С(К) в метрике Чебышева.
- Теорема о непрерывности равномерно сходящихся несобственных интегралов зависящих от параметра.
- Интегрирование по Риману равномерного предела функциональных последовательностей и рядов.
- Интегрирование по конечному отрезку равномерно сходящихся несобственных интегралов зависящих от параметра.
- Интегрирование функциональных последовательностей и рядов по бесконечному промежутку.
- Теорема о перестановке порядка интегрирования в несобственном интеграле.
- Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
- Дифференцирование несобственных интегралов зависящих от параметра.
- Интеграл Дирихле.
- Интеграл Пуассона.
- Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей.
- Предкомпактность и ее критерий в полном метрическом пространстве.
- Критерий Арцела-Асколи предкомпактности в С(К).
- Теорема Абеля для степенных рядов, радиус сходимости степенного ряда.
- Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- Свойства степенных рядов внутри области сходимости: единственность, равномерная сходимость, непрерывность, дифференцируемость интегрируемость.
- Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры.
- Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
- Г-функция Эйлера и ее свойства.
- B-функция Эйлера и ее свойства.
- Ортогональные системы функций. Примеры: система Лежандра и тригонометрическая система.
- Ортонормированная система функций. Ряды Фурье и их сходимость.
- Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
- Свойства рядов Фурье.
- Теорема Фишера-Риса.
- Свойства замкнутых ортонормированных систем функций.
- Разложимость непрерывно-дифференцируемых периодических функций в равномерно сходящийся ряд по тригонометрической системе.
четвёртый семестр[]
- Определение интеграла Римана на n-мерном брусе. Необходимое условие интегрируемости.
- Нижние и верхние интегральные суммы Дарбу, их свойства.
- Нижний и верхний интегралы Дарбу. Теорема Дарбу.
- Критерий Дарбу интегрируемости на n-мерном брусе.
- Множество лебеговой меры нуль в . Критерий Лебега интегрируемости на n-мерном брусе.
- Мера Жордана(объем) множества. Измеримые по Жордану множества.
- Определение интеграла Римана на измеримом по Жордану множестве.
- Критерий Лебега интегрируемости на измеримом по Жордану множестве.
- Основные свойства интеграла.
- Интеграл от неотрицательной функции.
- Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини.
- Формулы для вычисления объемов измеримых по Жордану множеств.
- Измеримые множества и гладкие отображения.
- Замена переменных в кратном интеграле: одномерный случай.
- Замена переменных в кратном интеграле: случай простейшего диффеоморфизма в .
- Композиция отображений и формула замены переменных.
- Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
- Формула замены переменных в кратном интеграле в общем случае.
- Замена переменных при отображениях измеримых множеств.
- Инвариантность интеграла. Инвариантность меры Жордана.
- Пренебрежимые множества. Формула замены переменных.
- Определение несобственного кратного интеграла.
- Мажорантный признак сходимости несобственного кратного интеграла.
- Криволинейный интеграл 1-го рода, основные свойства.
- Ориентация кусочно-гладкой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода, основные свойства.
- Формула Грина.
- Площадь поверхности и ее вычисление.
- Поверхностный интеграл 1-го рода, основные свойства.
- Ориентация кусочно-гладкой поверхности. Поверхностный интеграл 2-го рода, основные свойства.
- Формула Остроградского.
- Формула Стокса.
- Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор, их инвариантность.
- Основные интегральные формулы анализа в векторной трактовке.
- Геометрический смысл дивергенции и ротора.
- Соленоидальные векторные поля.
- Потенциальные векторные поля. Условие потенциальности поля в односвязной области.
Литература[]
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учеб.:В 2 ч.М.: Наука, 1982. 2ч.
- Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб. М.: Наука, 1979. 719 с.
- Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб.:В 2 ч. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985-1987. 2 ч.
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб.: В 2 т.М.: Наука, 1981. 2 т.
- Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.:В 2 т.М.: Наука, 1983. 2 т.
- Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 736 с.
- Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб. М.: Наука, 1979. 319 с.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учеб. М.: Наука, 1981. 542 с.
- Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб.пособие.М.: Наука, 1974. 480 с.
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. М.:: Наука, 1979. 527 с.
- Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие: В 2 ч. М.: Наука, 1984-1986. 2 ч.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.:В 4 т. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб.пособие: В 3 т. М.: Наука, 1969-1970. 3 т.
- Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
- Камынин Л.И. Курс математического анализа, том 1-2, М, МГУ, 1993.