Викия

Математика

Критерий согласия Колмогорова

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки статистических гипотез о законе распределения с известным видом распределения и известными параметрами.

Имеется выборка X=(X_1,\ldots,X_n) из распределения \mathcal{F}. Проверяется простая гипотеза H_1 = \left \{ \mathcal{F}= \mathcal{F}_1 \right\} против сложной альтернативы H_2 = \left\{ \mathcal{F} \not= \mathcal{F}_1 \right\}. В том случае, когда распределение \mathcal{F}_1 имеет непрерывную функцию распределения F_1\!\,, можно использовать критерий Колмогорова. Пусть

\rho (X) = \sqrt{n} \sup_y \left| F^*_n(y) - F_1(y) \right|.

Покажем, что \rho(X)\!\, удовлетворяет следующим условиям:

  • Если H_1\!\, верна, то X_i\!\, имеют распределение \mathcal{F}_1. По теореме Колмогорова \rho(X) \Rightarrow \eta, где \eta\!\, имеет распределение с функцией распределения Колмогорова.
  • Если гипотеза H_1\!\, неверна, то X_i\!\, имеют какое-то распределение \mathcal{F}_2, отличное от \mathcal{F}_1. По теореме Гливенко-Кантелли F^*_n(y) \stackrel{p}{\longrightarrow} F_2(y) для любого y\!\, при n \rightarrow \mathcal{1}. Поскольку \mathcal{F}_1 \not= \mathcal{F}_2, найдётся y_0\!\, такое, что \left| F_2(y_0) - F_1(y_0) \right| > 0. Но

\sup_y \left| F^*_n(y) - F_1(y) \right| \geqslant \left| F^*_n(y_0) - F_1(y_0) \right| \stackrel{p}{\longrightarrow} \left| F_2(y_0) - F_1(y_0) \right| > 0

Умножая на \sqrt{n}, получим при n \rightarrow \mathcal{1}, что \rho (X) = \sqrt{n} \sup_y \left| F^*_n(y) - F_1(y) \right| \stackrel{p}{\longrightarrow} \mathcal{1}.

Файл:Kolmogorov01.png

Пусть случайная величина \eta\!\, имеет распределение с функцией распределения Колмогорова

K(y) = \sum_{j=-\mathcal{1}}^\mathcal{1} (-1)^j e^{-2j^2y^2}, y > 0

Это распределение табулировано, так что по заданному \varepsilon\!\, легко найти C\!\, такое, что \varepsilon = \mathsf{P}(\eta \geqslant C).

Критерий Колмогорова выглядит следующим образом:

\delta(X)=\left\{\begin{matrix} H_1, & \mbox{if } \rho(X) < C \\ H_2, & \mbox{if } \rho(X) \geqslant C \end{matrix}\right.nl:Kolmogorov-Smirnovtoetssu:Uji Kolmogorov-Smirnov

Викия-сеть

Случайная вики