Викия

Математика

Кристаллографическая группа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Изолированная статья

Кристаллографическая группа - дискретная группа движений n-мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область. Две кристаллографические группы считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований пространства евклидова пространства.

Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов (n=2) и кристаллических структур (n=3). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена в конце 19 в. Е. С. Фёдоровым и несколько позже А. Шёнфлисом (A. Schönflies). С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных кристаллографических групп; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230.

Основные резульаты для многомерных кристаллографических групп были получены Бибербахом (Bieberbach), он в частности доказал:

  1. Всякая n-мерная кристаллографическая группа \Gamma содержит n линейно независимых параллельных переносов; группа G линейных частей преобразований (т.е. образ \Gamma в GL_n) конечна.
  2. Две кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы.
  3. При любом n имеется лишь конечное число n-мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).

Теорема 1 позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп: Пусть L - совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе \Gamma. Тогда L - нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная \Z^n и совпадающая со своим централизатором в \Gamma. Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе \Gamma является и достаточным условием того, чтобы группа \Gamma была изоморфна кристаллографической группе.

Группа G линейных частей кристаллографической группы \Gamma сохраняет решётку L; иными словами, в базисе решетки L преобразования из G записываются целочисленными матрицами.eo:Kristalografia grupo

Викия-сеть

Случайная вики