Викия

Математика

Кратный интеграл Римана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак \int имеется ввиду (кратный) интеграл Римана \left(R\right)\int, если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется ввиду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Определение Править

Пусть A - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение T множества A - это любой набор \left\{A_i\right\}_{i=1}^m измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и \bigcup_1^m A_i=A. Выберем точки \xi_i\in A_i,\ i=1,\ldots,m,\ \xi=\left\{\xi_i\right\}_{i=1}^m - получили (T,\xi)=\left\{A_i,\xi_i\right\}_{i=1}^m - разбиение с отмеченными точками.


Пусть функция f определена на A, тогда интегральной суммой называется \sigma(f,T,\xi)=\sum_{k=1}^m f(\xi_k)\mu A_k.


Функция f интегрируема по Риману в кратном смысле на A и I - её интеграл, если \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0: для любого отмеченного разбиения (T,\xi) с \xi_i\in{}A_i и диаметром dAi=\sup\limits_{x,\,y\in A_i} \rho(x,y)<\delta выполняется неравенство \left|\sigma(f,T,\xi)-I\right|<\varepsilon. Обозначается интеграл от функции f на измеримом множестве A: \int\limits_A f\,d\vec x.

Некоторые свойства кратного интеграла Римана Править

  1. Если функция f интегрируема по Риману на измеримом множестве A, то \exists\delta>0, что функция f ограничена на множестве A_\delta=\left\{x\in A:\ \rho(x,\mbox{int}A)<\delta\right\}, где \mbox{int}A - внутренность A. (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
  2. Если функция f интегрируема по Риману на измеримом множестве A, функция g определена на A и g(x)=f(x) на A_\delta для некоторого \delta>0, то g интегрируема по Риману на A и \int\limits_A g\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x.
  3. Линейность. Если f\in R(A) (ограничена и интегрируема по Риману на A), то \forall\alpha\in\mathbb{R} функция \alpha{}f\in R(A) и \int\limits_A \alpha f\,d\vec x=\alpha\int\limits_A f\,d\vec x. Если f,g\in R(A), то f\pm g\in R(A) и \int\limits_A (f\pm g)\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x + \int\limits_A g\,d\vec x. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
  4. Аддитивность по множествам. Если f\in R(A) и f\in R(B), то f\in R(A\cup B) и, если \mu(A\cap B)=0, то \int\limits_{A\cup B} f\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x+\int\limits_B f\,d\vec x. Первая часть следует из критерия Лебега.
  5. Интегрируемость по подмножеству. Если f\in R(A), B - измеримое по Жордану подмножество A, то f\in R(B). Cледует из критерия Лебега.
  6. Если f,g\in R(A), то f*g\in R(A). Cледует из критерия Лебега.
  7. Если f\in R(A), функция \varphi непрерывна на отрезке [\alpha,\beta]\supset f(A)\Rightarrow\varphi(f)\in R(A). Cледует из критерия Лебега.
  8. Если f\in R(A), и f изменить на множестве B\subset A,\ \mu B=0, то измененная функция \tilde f, при условии её ограниченности на A, также интегрируема по Риману на A и \int\limits_A \tilde f\,d\vec x=\int\limits_A f\,d\vec x.
  9. Если f,g\in R(A) и f(x)\leqslant g(x) на A, то \int\limits_A f\,d\vec x\leqslant\int\limits_A g\,d\vec x. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
  10. Если f\in R(A), то \left|f\right|\in R(A) и \left|\int\limits_A f\,d\vec x\right|\leqslant\int\limits_A \left|f\right|\,d\vec x.
  11. Если f\in R(A), f(x)\geqslant 0 на A и f(x_0)>0,\ x_0 - внутренняя точка A и точка непрерывности f, то \int\limits_A f\,d\vec x>0.

Теоремы Править

Ограниченная функция f на измеримом множестве A интегрируема по Риману \Leftrightarrow\ I_*(f)=I^*(f), и в случае равенства: I_*(f)=I^*(f)=\int\limits_A f\,d\vec x, где I_* и I^* - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

Ограниченная f на измеримом множестве A интегрируема по Риману \Leftrightarrow\ f непрерывна почти всюду на A.

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики