ФЭНДОМ


Коэффицие́нт корреля́ции или парный коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и статистике — это мера линейной зависимости двух случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть $ X,Y $ — две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой:

$ \varrho_{X,Y} = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y]}} $,

где $ \mathrm{cov} $ обозначает ковариацию, а $ \mathrm{D} $дисперсию, или, что то же самое,

$ \varrho_{X,Y} = \frac{\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}X \cdot \mathbb{E}Y} {\sqrt{(\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}X)^2) \cdot (\mathbb{E}[Y^2]-(\mathbb{E}Y)^2)}} $,

где символ $ \mathbb{E} $ обозначает математическое ожидание.

СвойстваПравить

$ -1 \le \varrho_{X,Y} \le 1 $.
  • Коэффициент корреляции равен $ \pm 1 $ тогда и только тогда, когда $ X $ и $ Y $ линейно зависимы:
$ \varrho_{X,Y} = \pm 1 \Leftrightarrow Y = kX+b $,

где $ k,b\in \mathbb{R} $. Более того в этом случае знаки $ \varrho_{X,Y} $ и $ k $ совпадают:

$ \operatorname{sgn} \varrho_{X,Y} = \operatorname{sgn} k $.
  • Если $ X,Y $ независимые случайные величины, то $ \varrho_{X,Y} = 0 $. Обратное, вообще говоря, неверно.

ИсторияПравить

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Коэффициент корреляции русской Википедии.