Викия

Математика

Коэффициенты Ламе

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение1 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Коэффициенты Ламе в в математическом анализекоэффиценты в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий, названые в честь французского математика Габриеля Ламе

Общее определениеПравить

Пусть x, y, z — декартовы координаты. Пусть q1, q2, q3 — произвольные ортогональные криволинейные координаты. Пусть также справедливы соотношения:

\left\{\begin{matrix} x = \phi_1\left(q_1, q_2, q_3\right);\\ y= \phi_2\left(q_1, q_2, q_3\right); \\ z = \phi_3\left(q_1, q_2, q_3\right); \end{matrix}\right.

где \phi_1,\ \phi_2,\ \phi_3 - некоторые функции.

Дифференциал дуги в декартовых координатах имеет вид:

dS^2\,=\,dx^2\,+\,dy^2\,+\,dz^2.

Тогда можно записать дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде:

dS^2\,=\,\left(\frac{\partial \phi_1}{\partial q_1}dq_1\,+\,\frac{\partial \phi_1}{\partial q_2}dq_2\,+\,\frac{\partial \phi_1}{\partial q_3}dq_3\right)^2\,+\,\left(\frac{\partial \phi_2}{\partial q_1}dq_1\,+\,\frac{\partial \phi_2}{\partial q_2}dq_2\,+\,\frac{\partial \phi_2}{\partial q_3}dq_3\right)^2\,+\,\left(\frac{\partial \phi_3}{\partial q_1}dq_1\,+\,\frac{\partial \phi_3}{\partial q_2}dq_2\,+\,\frac{\partial \phi_3}{\partial q_3}dq_3\right)^2

Принимая во внимание ортогональность систем координат, т.е. dq_i \cdot dq_j = 0, при i \ne jэто выражение можно переписать в виде:

dS^2 = \left[\left(\frac{\partial \phi_1}{\partial q_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_2}{\partial q_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_3}{\partial q_1}\right)^2\right]dq_1^2 + \left[\left(\frac{\partial \phi_1}{\partial q_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_2}{\partial q_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_3}{\partial q_2}\right)^2\right]dq_2^2 + \left[\left(\frac{\partial \phi_1}{\partial q_3}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_3}{\partial q_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_3}{\partial q_3}\right)^2\right]dq_3^2,

или

dS^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2,

где

H_i = \sqrt{\left(\frac{\partial \phi_1}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_2}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi_3}{\partial q_i}\right)^2};\ i=1..3

искомые коэффициенты Ламе.

Частные случаи Править

Полярные координаты Править

Связь полярных координат с декартовыми:

\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\theta}\\ y = r\sin{\theta}\end{matrix}\right..

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \end{matrix}.

Дифференциал дуги:

dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2

Цилиндрические координаты Править

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\theta}\\ y = r\sin{\theta} \\ z = z \end{matrix}\right..

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.

Дифференциал дуги:

dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + dz^2

Сферические координаты Править

Связь сферических координат с декартовыми:

\left\{\begin{matrix} x = r\sin{\theta}\cos{\phi}\\ y = r\sin{\theta}sin{\phi} \\ z = r\cos{\theta} \end{matrix}\right. .

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Дифференциал дуги:

dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + r\sin{\theta}d\phi^2he:קבועי לאמה

uk:Коефіцієнти Ламе

Викия-сеть

Случайная вики