Викия

Математика

Копула

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Копула — это многомерная функция распределения, определенная на n-мерном единичном кубе [0, 1]n, такая что каждое ее маргинальное распределение равномерно на интервале [0, 1].

Теорема Склара заключается в следующем. Для произвольной двумерной функции распределения H(xy) с одномерными маргинальными функциями распредлеения F(x) = H(x, ∞) и G(y) = H(∞, y) существует копула, такая что

H(x,y)=C(F(x),G(y))\,

(где мы отождествляем распределение C с его функцией распределения). Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

C(u,0)=C(0,v)=0\,
C(u,1)=u; \qquad  C(1,v)=v.

Границы Фреше для копулыПравить

Минимальная копула: Это нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

 M(x,y) = \max(0,x+y-1).\,

Максимальная копула: Это верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

 W(x,y) = \min(x,y).\,

Архимедовы копулыПравить

Одна частная простая форма копулы:

 H(x,y) = \Psi^{-1}(\Psi(F(x))+\Psi(G(y)))\,

где \psi называется функция—генератор. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция—генератор, которая удовлетворяет приведенным ниже свойствам служит основой для правильной копулы:

\Psi(1) = 0;\qquad \lim_{x \to 0}\Psi(x) = \infty;\qquad \Psi'(x) < 0;\qquad \Psi''(x) > 0.

Копула—произведение: также называется независимой копулой, эта копула не имеет зависимостей между переменными, ее функция плотности всегда единица.

\Psi(x) = -\ln(x); \qquad  H(x,y) = xy.

Копула Клейтона (Clayton):

\Psi(x) = x^{\theta} -1;\qquad \theta \le 0; \qquad  H(x,y) = (F(x)^\theta+G(y)^\theta-1)^{1/\theta}.

Для \theta=0 в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы. Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространен для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

ЛитератураПравить

  • David G. Clayton (1978), "A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence", Biometrika 65, 141-151. JSTOR (subscription)
  • Frees, E.W., Valdez, E.A. (1998), "Understanding Relationships Using Copulas", North American Actuarial Journal 2, 1-25.
  • Roger B. Nelsen (1999), An Introduction to Copulas. ISBN 0-387-98623-5.
  • S. Rachev, C. Menn, F. Fabozzi (2005), Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. ISBN 0-471-71886-6.
  • A. Sklar (1959), "Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges", Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris 8, 229-231.

Внешние ссылкиПравить

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики