Викия

Математика

Конформное отображение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D главная линейная часть этого преобразования есть ортогональное преобразование.

Связанные определенияПравить

  • Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
  • Две метрики g,\tilde g на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция \psi:M\to\R такая что \tilde g=e^\psi g. В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение (M,g)\to(M,\tilde g).

СвойстваПравить

  • Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
  • Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
    • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
  • Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства \R^n при n\ge 3 можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
  • Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, т.е. если \tilde g и g - конформноэквивалентные метрики, то
        \tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z,
    где \tilde W и W обозначают тензоры Вейля для \tilde g и g соответственно.
  • Для конформноэквивалентых метрик \tilde g=e^{2\psi} g
    • Связности связаны следующей формулой:
         \tilde\nabla_XY=\nabla_XY+(X\psi)Y+(Y\psi)X-g(X,Y)\nabla\psi)
    • Кривизны связаны следующей формулой:
          g(\tilde R(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-
          -Hess_\psi (X,X)-Hess_\psi(Y,Y)-|\nabla\psi|^2+(Y\psi)^2
      если g(X,X)=g(Y,Y)=1, g(X,Y)=0, X\psi=0 а Hess_\psi обозначает Гессиан функции \psi. Формулу для секционных кривизн можно записать в следуцем виде:
          \tilde K_{X,Y}=
f^2K_{X,Y} +{f}[Hess_f (X,X)+Hess_f(Y,Y)]-|\nabla f|^2,
      где f=e^{-\psi}.

ПримерыПравить

ИсторияПравить

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, [[Риман, Бернхард|Шаблон:S]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Шаблон:S]], [[Пуанкаре, Жюль Анри|Шаблон:S]], [[Каратеодори, Константин|Шаблон:S]], [[Жуковский, Николай Егорович|Шаблон:S]], [[Чаплыгин, Сергей Алексеевич|Шаблон:S]].

ПрименениеПравить

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

pl:Odwzorowanie równokątnesv:Konform avbildning

Викия-сеть

Случайная вики