Викия

Математика

Континуанта

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Континуантой индекса n называется многочлен K_n(x_1,\dots,x_n), определяемый рекуррентным соотношением

K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1
K_n(x_1,\dots,x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\dots,x_{n-2})

Континуанта может быть также определена через определитель

K_n(x_1,x_2,\dots,x_n)=
\det \begin{pmatrix} 
x_1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & x_2  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 &x_n
\end{pmatrix}

СвойстваПравить

  • Континуанты обладают зеркальной симметрией K_n(x_1,\dots,x_n) = K_n(x_n,\dots,x_1)
  • K_n(1,\dots,1) = F_n, где F_nчисло Фибоначчи.
  • Континуанта K_n(x_1,\dots,x_n) есть сумма всех одночленов, начиная с произведения x_1\cdot\dots\cdot x_n, полученных вычеркиванием всевозможных мономов и непересекающихся пар соседних переменных в этом одночлене.
  • Справедливо тождество
\frac{K_n(x_1,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)}
  • В поле рациональных дробей
\frac{K_n(x_1,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)} = [x_1;x_2,\dots,x_n] =
x_1 + \frac{1}{x_2 + \frac{1}{x_3 + \cdots}}цепная дробь.
  • Справедливо матричное соотношение
\begin{pmatrix} K_n(x_1,\dots,x_n) & K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\dots,x_n) & K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\dots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
Откуда для определителей получается тождество
K_n(x_1,\dots,x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})\cdot K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) = (-1)^n.
А также
K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\dots,x_{n+2}) - K_n(x_1,\dots,x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\dots,x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.

СсылкиПравить

Викия-сеть

Случайная вики