Викия

Математика

Конечнопорождённая абелева группа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В абстрактной алгебре, абелева группа (\mathbb{G}, +) называется конечнопорождённой если существует конечный набор x_1, ... , x_s \in \mathbb{G}, такой что \forall x \in \mathbb{G} существует представление

x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_s x_s

где n_1, ... , n_s - целые числа. В таком случае, говорится что \{ x_1, ... , x_s \} порождает множество \mathbb{G} или что x_1, ... , x_s порождают \mathbb{G}.

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечно порождённой. Конечнопорожденные абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, как это будет далее показано.

Примеры Править

  • Целые числа (\mathbb{Z}, +) являются конечнопорожденной абелевой группой.
  • Числа по модулю (\mathbb{Z}_n, +) являются конечнопорождённой абелевой группой
  • Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой

Нет других конечнопорождённых групп. Группа (\mathbb{Q},+) рациональных чисел не является конечнопорожденной: если x_1, ... , x_s \in \mathbb{Q}, возьмём натуральное число w взаимно простое ко всем их делителям; тогда 1/w не может быть порождено x_1, ... , x_s \in \mathbb{Q}.

Классификация Править

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает что любая конечнопорождённая абелева группа  \mathbb{G} изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа это такая циклическая группа чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{m_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{m_t}

где n \ge 0, и числа m_1, ... , m_t являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения n, m_1, ... , m_t однозначно определены (с точностью до порядка) группой  \mathbb{G} ; В частности,  \mathbb{G} конечна тогда и только тогда когда  n = 0 .

На основании того факта что  \mathbb{G}_m будет изоморфно произведению  \mathbb{G}_j и  \mathbb{G}_k тогда и только тогда когда j and k взаимнопросты и m = j k, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу  \mathbb{G} в форме прямого произведения

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}

где k_1 делит k_2, который делит k_3 и так далее до k_u. И снова, числа n и k_1, ... , k_u однозначно заданы группой  \mathbb{G} .he:משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית

Викия-сеть

Случайная вики