Викия

Математика

Конечная p-группа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Эту статью следует викифицировать.

Основные свойства конечных p-групп Править

Определение. Группа называется конечной p-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Теорема. Пусть P — конечная p-группа, тогда

  • P — нильпотентна.
  • |Z(P)|>1.
  • Для любого 1\leq k <n в P существует нормальная подгруппа порядка p^k.
  • Если H нормальна в P, то |H\cap Z(P)|>1.
  • P'\leq \Phi(P).
  • P/\Phi(P)\cong E_{p^d}.

Некоторые классы конечных p-групп Править

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых клаccов конечных p-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса Править

Конечная p-группа порядка p^n называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна n-1.

Теорема. Пусть P — есть конечная p-группа максимального класса, тогда P'=\Phi(P) и |Z(P)|=p.

Теорема. Единственными 2-группами порядка 2^n максимального класса являются: диэдральная группа D_{2^n}, обобщённая группа кватернионов Q_{2^n} и полудиэдральная группа SD_{2^n}.

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы Править

Конечная p-группа называется p-центральной, если \Omega_1(P)\leq Z(P). Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной p-группы.

Мощные p-группы Править

Конечная p-группа называется мощной, если [P,P]\leq P^p при p\neq 2 и [P,P]\leq P^4 при p=2. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию p-центральной p-группы.

Регулярные p-группы Править

Конечная p-группа P называется регулярной, если для любых x,y\in P выполнено (xy)^p=x^p y^p c^p, где c\in P'. Регулярными будут, например, все абелевы p-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

Теорема. Любая подгруппа и фактор-группа регулярной p-группы регулярна.

Теорема. Конечная p-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.

Теорема. Конечная p-группа порядка не большего p^p является регулярной.

Теорема. Конечная p-группа класс нильпотентности которой меньше p является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при p>2.

Несколько неожиданной является следующая

Теорема. Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядковПравить

Число различных p-групп порядка p^n Править

  • Число неизоморфных групп порядка p равно 1: группа C_{p}.
  • Число неизоморфных групп порядка p^2 равно 2: группы C_{p^2} и C_{p}\times C_{p}.
  • Число неизоморфных групп порядка p^3 равно 5, из них три абелевы группы: C_{p^3}, C_{p^2}\times C_{p}, C_{p}\times C_{p}\times C_{p} и две неабелевы: при p>2E_{p^3}^+ и E_{p^3}^-; при p = 2 — D_8, Q_8.
  • Число неизоморфных групп порядка p^4 равно 15 при p>2, число групп порядка 2^4 равно 14.
  • Число неизоморфных групп порядка p^5 равно 2p + 61  + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4) при p\geq 5. Число групп порядка 2^5 равно 51, число групп порядка 3^5 равно 67.
  • Число неизоморфных групп порядка p^6 равно 3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5) при p\geq 5. Число групп порядка 2^6 равно 267, число групп порядка 3^6 равно 504.
  • Число неизоморфных групп порядка p^7 равно 3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9) при p>5. Число групп порядка 2^7 равно 2328, число групп порядка 3^7 равно 9310, число групп порядка 5^7 равно 34297.

p-группы порядка p^n, асимптотикаПравить

При n\rightarrow\infty число неизоморфных групп порядка p^nасимптотически равно p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}.

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп Править

Группа автоморфизмов конечной p-группыПравить

Для групп p-автоморфизмов конечной p-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

Гипотеза. Пусть P является нециклической p-группой порядка |P|\geq p^3, тогда P\leq |Syl_p(Aut(P))|.

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса p-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более p^7, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза ХигменаПравить

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка q нильпотентна.

Гипотеза. Пусть группа P обладает регулярным автоморфизмом простого порядка q. Тогда её класс нильпотентности равен cl(P)=\frac{q^2-1}{4}.

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: cl(P) < q^q (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза БернсайдаПравить

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с m образующими и периодом n (то есть все её элементы x удовлетворяют соотношению x^n=1), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через B(m,n). Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа B(m,2) является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы B(m,3) равен 3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}. Однако, как показали Новиков и Адян, при m\geq 2 и при любом нечётном n\geq 4381 группа B(m,n) бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных m-порождённых групп периода n ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных p групп она означает, что существует лишь конечное число p групп данной экспоненты и с данным числом образующих.


Нерегулярные p-группы Править

Классификация нерегулярных p-групп порядка p^{p+1}.

Литература Править

  • Белоногов В.А., Задачник по теории групп. Москва, Наука, 2000.
  • Холл М., Теория групп. Издательство иностранной литературы, Москва, 1962.
  • Хухро E.И., O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп, Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371.
  • Berkovich Y., Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
  • Berkovich Y., Janko Z., Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
  • Gorenstein D., Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B., Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
  • Lazard M., Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
  • Lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515.
  • Weigel T., Combinatorial properties of p-central groups, Freiburg Univ., 1996, preprint.
  • Weigel T., p-Central groups and Poincare duality, Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки Править

Эта статья содержит материал из статьи Конечная p-группа русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики