Комплексное число

Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x+iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению $i^2=-1$. Общепринятым произношением является компле́ксное число́, что позволяет различить математический смысл слова комплексный и бытовой.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле и являются частным случаем гиперкомплексных чисел.

Определения

Формально комплексное число $z$ — это пара вещественных чисел $(x,y)$ со введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

• $(x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,$
• $(x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,$

Мнимая единица в такой системе представляется парой $i=(0,1) \,$. Поэтому ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $i^2=-1$, так как число $(-i)$ также удовлетворяет этому уравнению.

Матричная форма

Комплексные числа можно также идентифицировать с семейством вещественных [6-l|(2+5l)=

$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением.

Связанные определения

Комплексная переменная обычно обозначается $z$. Пусть $x$ и $y$ суть вещественные числа, такие, что $z = x + iy$. Тогда

• Комплексное число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$.
• Числа $x = \Re(z)$ или $\operatorname{Re}(z)$ и $y = \Im(z)$ или $\operatorname{Im}(z)$ называются соответственно вещественной и мнимой частями $z$.
  • Если $x = 0$, то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
• Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}$ называется модулем числа $z$, а
• Угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = x \cdot |z|^{-1}$ и $\sin \varphi = y \cdot |z|^{-1}$, называется аргументом $z$.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x + yi$ называется алгебраической формой комплексного числа.

Тригонометрическая форма

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r = |z|$ и аргумент $\varphi$ ($x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$), то комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi$).

Показательная (экспоненциальная) форма

Для целей комплексного анализа также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической

$z=r e^{i\varphi}$

Формула Муавра

Формула Муавра — формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n =[\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi) ]^n = \rho^n (\cos n\varphi +i\sin n\varphi)$,

где $\,\rho$ — модуль, а $\,\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Л. Эйлером в 1722 году.

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Р. Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI­­­­-XVII вв. «мнимыми». Однако даже для многих крупных учёных XVII в. алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

Зодача о выражении корней степени $n$ из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722). Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, к такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Он же ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей независимо выводы К. Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена У. Р. Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного

• Гиперболические функции
• Логарифм
• Степенная функция
• W-функция Ламберта

Обобщения

• Гиперкомплексные числа — конечно-мерные алгебры над полем вещественных чисел.

Ссылки

• Понтрягин Л., «Комплексные числа», Квант, № 3, 1982.
• Арнольд В.И., «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», МЦНМО, 2002

Шаблон:Категория только в статьях

Эта статья содержит материал из статьи Комплексное число русской Википедии.