Викия

Математика

Компактификация

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства X определяется как пара (Y,f), где Y компактно, f:X \to Y гомеоморфизм на свой образ f(X) и f(X) плотно в Y.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства X можно ввести частичный порядок. Положим f_1 \leq f_2 для двух компактификаций f_1: X \to Y_1, f_2: X \to Y_2, если существует непрерывное отображение g: Y_2 \to Y_1 такое, что g f_2 = f_1. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна-Чеха и обозначается \beta X. Для того, чтобы у пространства X существовала компактификация Стоуна-Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, достаточно, чтобы X удовлетворяло аксиоме отделимости T_{3\frac{1}{2}}.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть Y=X \cup \{\infty\} и открытыми множествами в Y считаются все открытые множества X, а также множества вида O \cup \{\infty\}, где O \subseteq X имеет компактное (в X) дополнение. f берётся как естественное вложение X в Y. (Y, f) тогда компактификация, причём Y хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно.

Примеры одноточечной компактификации Править

\R \cup \{\infty\} с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соотвествующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, т.к. окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с \R (пример гомеоморфизма - стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с \R \cup \{\infty\}. Аналогично, \mathbb R^n \cup \{\infty\} гомеоморфно c n-мерной гиперсферой.he:קומפקטיפיקציהpl:Uzwarcenie przestrzeni

Викия-сеть

Случайная вики