Викия

Математика

Кольцо (теория множеств)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы A \cap  B и A \triangle B тоже будут лежать в кольце.

Свойства колец Править

  • Пустое множество принадлежит любому кольцу (так как \varnothing = A \triangle A).
  • Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B).
  • Разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как A \backslash B = A \triangle (A \cap B).

Расширения и сужения понятия Править

Кольцо является частным случаем полукольца. Более того, каждое полукольцо добавлением какого-то количества элементов можно превратить в кольцо. Минимальным кольцом, порождённым данным полукольцом S, называется такое R, что его содержит любое кольцо, содержащее S. Для каждого полукольца S такое R существует и единственно, оно состоит из всевозможных конечных объединений элементов S.

Алгеброй называется кольцо с единицей, то есть таким элементом E, что пересечение E с любым элементом A равно A. Сигма-кольцом называется кольцо, замкнутое относительно счётных объединений элементов, а дельта-кольцом — замкнутое относительно счётных пересечений. Аналогично определяется сигма-алгебра (при этом любая дельта-алгебра является сигма-алгеброй и наоборот).

Примеры Править

Примерами колец могут служить борелевская сигма-алгебра множеств на прямой или множество \{ A, B, A \cup B, \varnothing \}. Прямое произведение колец является полукольцом, но не обязано быть кольцом. Прямое произведение двух одинаковых колец из последнего примера не будет кольцом, потому что у элемента A_1 \times A_2 не будет дополнения до E. (Дополнение этого элемента до E можно представить, например, как объединение A_1 \times B_2 и B_1 \times E_2, но одним элементом нельзя.)

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики