Викия

Математика

Коллинеарность

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены ("сонаправлены") или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Обозначения Править

  • Кооры: \vec{a}||\vec{b}
  • Сонаправленные (коллинеарные) векторы:
  • Противоположно направленные (антипараллельные) векторы: \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}

Свойства коллинеарности Править

Пусть \vec{a},\vec{b},\vec{c} — векторы пространства \mathbb{R}^n. Тогда верны следующие утверждения:

  • Коллинеарность - отношение эквивалентности, т.е. оно:
    1. рефлексивно: \vec{a}||\vec{a}
    2. симметрично: \vec{a}||\vec{b}\Leftrightarrow\vec{b}||\vec{a}
    3. транзитивно: \left(\vec{a}||\vec{b}\right)\land\left(\vec{b}||\vec{c}\right)\Rightarrow\vec{a}||\vec{c}
  • Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: \vec{a}||\vec{0}
  • Скалярное произведение коллинеарных векторов \vec{a}\cdot\vec{b} = \pm a b равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы антипараллельны)
  • Векторное произведение коллинеарных векторов \vec{a}\times\vec{b} = 0. Это — критерий коллинеарности двух векторов.
  • Коллинеарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий коллинеарности.
  • Существует действительное число \;\lambda такое, что \vec{a} = \lambda\vec{b} для коллинеарных \vec{a} и \vec{b}, за исключением особого случая \vec{b}=\vec{0}. Это - переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий коллинеарности.
  • На плоскости 2 неколлинеарных вектора \vec{a},\vec{b} образуют базис. Это значит, что любой вектор \vec{c} можно представить в виде: \vec{c}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}. Тогда \;\{x_1, x_2\} будут координатами \vec{c} в данном базисе.

Другие объекты Править

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики