ФЭНДОМ


Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости случайных величин.

Определение Править

Пусть $ X, Y $ — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

$ \mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right] $,

в предположении, что все математические ожидания в правой части определены.

Замечания Править

Свойства ковариации Править

  • Ковариация симметрична:
$ \mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X) $.
  • В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как
$ \mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y] $.
  • Пусть $ X_1,\ldots, X_n $ случайные величины, а $ Y_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; Y_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j X_j $ их две произвольные линейные комбинации. Тогда
$ \mathrm{cov}(Y_1,Y_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j \mathrm{cov}(X_i,X_j) $.

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

  • Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:
$ \mathrm{cov}(X,X) = \mathrm{D}[X] $.
  • Если $ X,Y $ независимые случайные величины, то
$ \mathrm{cov}(X,Y) = 0 $.

Обратное, вообще говоря, неверно.

$ \mathrm{cov}^2(X,Y) \leq \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y] $.

См. также Править

cov(X+Y,Z )=cov(X,Z)*cov(Y,Z)

pl:Kowariancjasu:Kovarian sv:Kovariansvi:Hiệp phương sai