Ковариация

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости случайных величин.

Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства ковариации 4 См. также

[править] Определение

Пусть  — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

,

в предположении, что все математические ожидания в правой части определены.

[править] Замечания

• Если , то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна.
• В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом ковариация имеет вид и играет роль скалярного произведения.

[править] Свойства ковариации

• Ковариация симметрична:

.

• В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как

.

• Пусть случайные величины, а их две произвольные линейные комбинации. Тогда

.

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

• Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:

.

• Если независимые случайные величины, то

.

Обратное, вообще говоря, неверно.

• Неравенство Коши — Буняковского:

.

[править] См. также

• Независимость
• Корреляция
• Коэффициент корреляцииda:Kovarianshe:שונות משותפתja:共分散no:Kovarians

pl:Kowariancjasu:Kovarian sv:Kovariansvi:Hiệp phương sai zh:协方差