Викия

Математика

Кватернион

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Кватернио́ны (Шаблон:Lang-en) — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается \mathbb H.

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики. [1]

Определения Править

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> где <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Cvec%7Bu%7D%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> вектор трёхмерного пространства и <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea%5C%5C%2C%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> скаляр, т. е. <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Вещественное число">вещественное число</a>. Операции сложения определены следующим образом:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%2B%20%28b%20%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3D%20%28a%20%2B%20b%20%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%2B%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%20%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

Произведение должно быть <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0434%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0431%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивность">дистрибутивно</a> и

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%200%29%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3D%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%28a%2C%200%20%29%3D%20%280%2C%20a%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />
<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%28a%2C%200%29%28b%2C%200%29%3D%28ab%2C%200%29%5C%5C%2C%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />
<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%20%29%280%2C%20%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3D%20%28%20-%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%5C%5Ccdot%5C%5Cvec%7Bv%7D%20%2C%20%5C%5Cvec%7Bu%7D%5C%5Ctimes%5C%5Cvec%7Bv%7D%29%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

где <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Ccdot%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> обозначает <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0430%5Cu043b%5Cu044f%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Скалярное произведение">скалярное произведение</a> и <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Ctimes%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043a%5Cu0442%5Cu043e%5Cu0440%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043f%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0438%5Cu0437%5Cu0432%5Cu0435%5Cu0434%5Cu0435%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Векторное произведение">векторное произведение</a>. <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0410%5Cu043d%5Cu0442%5Cu0438%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0410%5Cu043d%5Cu0442%5Cu0438%5Cu043a%5Cu043e%5Cu043c%5Cu043c%5Cu0443%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu0438%5Cu0432%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14400959564f16587748788" href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Коммутативность" class="mw-redirect">Антикоммутативность</a> векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Матричное Править

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta &  \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},

здесь \bar \alpha и \bar \beta обозначают комплексно-сопряжённые числа к \,\alpha и \, \beta.

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

\begin{pmatrix}
 a & -b    & -c     & -d \\ 
 b & \;\;a & -d     & \;\; c \\
 c & \;\;d & \;\; a & -b \\
 d & -c    & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}.

Стандартное Править

Кватернионы можно определить как формальную сумму \,a+bi+cj+dk где \,a, b, c, d есть четвёрка вещественных чисел и \,i, j, k «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:

· 1 i j k
1 \,1 \,i \,j \,k
i \,i \,-1 \,k \,-j
j \,j \,-k \,-1 \,i
k \,k \,j \,-i \,-1

например \,ij=k, a \,ji=-k.

Связанные определения Править

Для кватерниона

\,q=a+bi+cj+dk,

кватернион \,a называется скалярной частью \,q, а кватернион \,v=bi+cj+dk — векторной чатью. Если \,v=0 то кватернион называется чисто скалярным, а при \,a=0 чисто векторным. Kватернион

\bar q=a-bi-cj-dk

называется сопряженным к \,q. Так же как и для комплексных чисел

|q|=\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}

называется модулем \,q. Если \,|q|=1 то \,q называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что |p\cdot q|=|p|\cdot |q|, иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернионы и повороты пространства Править

Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно \,0 может быть записан в виде q\mapsto \xi q \zeta, где \,\xi и \,\zeta пара единичных кватернионов, при этом пара \,(\xi,\zeta) определяется с точностью до знака то есть один поворот определяют в точности две пары \,(\xi,\zeta) и \,(-\xi,-\zeta). В частности из этого следует что группа Ли SO(\mathbb{R},4) поворотов \mathbb{R}^4 есть факторгруппа S^3\times S^3/\mathbb{Z}_2, где \,S^3 обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно \,0 может быть записан в виде v\mapsto \xi v \bar\xi, где \,\xi некоторый единичный кватернион. Соответственно, SO(\mathbb{R},3)=S^3/\mathbb{Z}_2, в частности SO(\mathbb{R},3) диффеоморфно \mathbb{R} \mathrm{P}^3.

Целые кватернионы Править

Целыми принято называть кватернионы \,a+bi+cj+dk такие, что все \,a,b,c,d — целые или все a+\frac12,b+\frac12,c+\frac12,d+\frac12 — целые.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

\pm 1,\pm i, \pm j, \pm k, \frac{\pm1\pm i\pm j\pm k}2,

они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, то есть любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если \,q=p_1p_2p_3, где \,p_1,p_2,p_3 — простые, то

q=(p_1\epsilon_1)(\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2)(\bar\epsilon_2p_3)

также разложение на простые сомножители \,(p_1\epsilon_1), (\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2), (\bar\epsilon_2p_3). Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.

Источники Править

  1. Кватернионы в программировании игр

Ссылки Править


Шаблон:Категория только в статьяхca:Quaternió

cs:Kvaternion da:Kvaternionerel:Τετραδόνιοfa:چهارگان‌هاhe:חוג הקווטרניונים hu:Kvaterniók ia:Quaternion is:Fertölurlmo:Quaterniú lt:Kvaternionas nl:Quaternion no:Kvaternioner pl:Kwaternionysl:Kvaternion sr:Кватернион sv:Kvaternion uk:Кватерніони

Викия-сеть

Случайная вики