Wikia

Математика

Квадратный корень

Обсуждение0
1391статья на этой вики

Квадра́тный ко́рень из \! a (корень 2-й степени) — это решение \! x уравнения вида x \cdot x = a.[1]

Применение операции корня к числамПравить

Квадратный корень из числа \! a — это такое число, квадрат (результат умножения на себя) равен \! a, то есть решение уравнения \! x^2=a относительно переменной \! x.[2][3]

Рациональные чПравить

Корень из рационального числа \! p/q является рациональным числом, только если \! p и \! q (после сокращения вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: |\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2}, где \! C зависит от \! r[4][5].

Действительные числаПравить

Теорема. Для любого положительного [6]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа \! a называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала \sqrt a.[7]


Комплексные числа Править

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа \! a часто обозначают как \sqrt{a}, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространенная ошибка:

-1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

\! a=|a|e^{i\phi},

то

\sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2},

где k – целое число, а корень из модуля понимается в смысле арифметического значения. Два различных корня получаются при k=0 и k=1. Шаблон:Источник?

Обобщения Править

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида x \cdot x = a и для других объектов: матриц [8], функций [9], операторов[10] и т. п. В качестве операции умножения при этом могут использоваться и её достаточно далекие аналоги, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть (G,\cdot) - группоид и a\in G. Элемент x\in G называется квадратным корнем из \ a если \ x \cdot x=a.

Квадратный корень в элементарной геометрии Править

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырех действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

Способы отыскания квадратного корняПравить

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня Править

200px

|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}

В частности, если \! |AH| = 1, а \! |HC| = x, то |BH|=\sqrt{x} [12]

Примечания Править

  1. Несмотря на то, что в первую очередь под \! x и \! a подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в т. ч. такими как матрицы и операторы. С другой стороны, не любое решение рассматриваемого уравнения называется квадратным корнем. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.
  2. «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-ая степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
  3. «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число (\! x^{n}=a)... Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
  4. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
  5. См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
  6. Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, §4 // Мат. анализ на EqWorld
  7. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
  8. См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  9. См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
  10. См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
  11. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
  12. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

См. также Править

Ссылки Править


ar:جذر تربيعي

ca:Funció arrel cs:Odmocnina da:Kvadratrodet:Ruutjuurgl:Raíz cadrada he:שורש ריבועי is:Ferningsrótja:平方根nl:Vierkantswortel no:Kvadratrot pl:Pierwiastek kwadratowysimple:Square root sk:Odmocnina sr:Квадратни корен su:Akar kuadrat sv:Kvadratrotzh:平方根

Викия-сеть

Случайная вики