Викия

Математика

Квадратичный закон взаимности

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Простейшим проявлением закона взаимности является следующий факт, известный ещё Ферма: Простыми делителями чисел x^2+1 могут быть лишь число 2 и простые числа, лежащие в арифметической прогрессии 4k+1. Другими словами, сравнение

x^2+1\equiv0 \mod p

по простому модулю p>2 разрешимо в том и только в том случае, когда p \equiv 1 \mod 4. С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2

В общем случае, вопрос о разрешимости сравнения

x^2\equiv a \mod p

решается с помощью закона взаимности Гаусса:

\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4

где р и q — различные нечётные простые числа, а также двух дополнений к этому закону

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2     и     \left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.

ИсторияПравить

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру и Лежандру, однако первое доказательство было получено только Гауссом, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

См. такжеПравить

hu:Kvadratikus reciprocitás tételepl:Prawo wzajemności reszt kwadratowych sv:Kvadratiska reciprocitetssatsen ta:இருபடிய நேர் எதிர்மை vi:Luật tương hỗ bậc haizh-yue:二次互反律

Викия-сеть

Случайная вики