Викия

Математика

Квадратичная форма

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Квадратичной формой называется функция B(x)=A(x,x) из линейного пространства L над произвольным полем F характеристике не 2 в поле F, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x=y.

При фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n в L квадратичная форма имеет вид

A(x,x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^i x^j=a_{ij}x^i x^j (по соглашению Эйнштейна),

где x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n=x^i e_i, а a_{ij}=a_{ji}.

Матрицу (a_{ij}) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.

СвойстваПравить

  • Симметричную билинейную форму A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x\neq 0 A(x,x)>0 (A(x,x)<0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
    • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все еë угловые миноры матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если A(x,x)\geq 0 (A(x,x)\leq 0), но форма не является знакоопределённой.

Для определения к какому из этих трёх типов относится квадратичная форма можно воспользоваться критерием Сильвестра.

pl:Forma kwadratowa ur:چکوری ہئیت

Викия-сеть

Случайная вики